Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании «случай—контроль» сравнивают 280 пациентов с заболеванием (случаи) и 220 людей без него (контроли). В таблице показано, сколько в каждой группе подвергались воздействию фактора риска. Найдите отношение шансов OR для воздействия. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 20b = 35c = 260d = 185
OR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). У пациента вероятность заболевания до теста составляет 40%. Тест с чувствительностью 71% и специфичностью 83% даёт результат: отрицательна. Найдите вероятность заболевания после теста p′ в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Какая доля P значений больше 650?
μ = 500σ = 100x = 650
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 13 элементов имеет среднее 57 и стандартное отклонение s = 12,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 13x̄ = 57s = 12,590%t(12) = 1,782
E =
6.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 6. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?
σ = 6E = 299%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 64 студентов имеет средний балл 73,25 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 73,25s = 10n = 64
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 200 против H₁: μ < 200 проводится при α = 0.05 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 6. В действительности среднее равно 196.6. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.
μ₀ = 200μ = 196,6σ = 6n = 36α = 0,05
β = %
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: OR = 0,41
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Шансы воздействия
случаи: 20/260 = 0,07692
контроли: 35/185 = 0,1892
Отношение шансов
OR = (20·185)/(35·260) = 0,4066 ≈ 0,41
Ответ
OR = 0,41
OR ниже 1: воздействие реже встречается среди случаев, что говорит о защитном эффекте.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: p′ = 18,9 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Отношение правдоподобия
LR− = (1 − 0,71)/0,83 = 0,3494
Шансы до теста
0,4/(1 − 0,4) = 0,6667
Шансы после теста
0,6667·0,3494 = 0,2329
Вероятность после теста
p′ = 0,2329/(1 + 0,2329) = 0,1889 ≈ 18,9%
Ответ
p′ = 18,9%
3.Описательная статистика
Ответ: s = 13,4
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,5
Таблица нормального распределения
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Ответ
P = 0,06681
5.Доверительные интервалы
Ответ: E = 6,178
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Предельная ошибка
E = 1,782·12,5/√13 = 6,178
Ответ
E = 6,178
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 60
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·6/2)² = 59,72
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 60
Ответ
n = 60
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,4
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Статистика критерия
t = (73,25 − 75)/1,25 = −1,4
Ответ
t = −1,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: β = 3,963 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).