Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В когорте группы людей наблюдали в течение разного времени (см. таблицу: число людей и годы наблюдения для каждой). За время наблюдения возникло 68 новых случаев. Найдите показатель заболеваемости IR на 1000 человеко-лет. Округлите до одного знака после запятой.
150 × 4 годы280 × 3 годы540 × 2 годы68 новые случаи
IR = на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Без препарата у 36% пациентов в течение года возникает определённый побочный эффект. Препарат повышает этот риск с относительным риском RR = 2,26. Найдите число пациентов, при лечении которых возникает один вред, NNH: сколько пациентов должны принимать препарат в течение года, чтобы у одного дополнительного пациента возник побочный эффект? Округлите вверх до целого числа пациентов.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 45.
μ = 50σ = 5x = 45
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 63,5 h, известное стандартное отклонение 13 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 78,5 h, известное стандартное отклонение 10 h. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 28. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?
σ = 28E = 2,599%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
16 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −0,9, стандартное отклонение разностей — 2,4. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = −0,9sd = 2,4
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 56 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 68 из 80 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 56n₁ = 80x₂ = 68n₂ = 80
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: IR = 27 на 1000 человеко-лет
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Человеко-годы
PY = 150·4 + 280·3 + 540·2 = 2520
Показатель заболеваемости
IR = 68/2520·1000 = 27 на 1000 человеко-лет
Ответ
IR = 27 на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практики
Ответ: NNH = 3
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Риск с препаратом
0,36·2,26 = 0,8136
Абсолютное увеличение риска
ARI = 0,8136 − 0,36 = 0,4536
Число пациентов, при лечении которых возникает один вред (NNH)
NNH = 1/0,4536 = 2,205 → 3
Ответ
NNH = 3
3.Описательная статистика
Ответ: s = 14,77
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (45 − 50)/5 = −1
Ответ
z = −1
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = −20,65 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 63,5 − 78,5 = −15
Стандартная ошибка
SE = √(13²/60 + 10²/50) = 2,195
Предельная ошибка
E = 2,576·2,195 = 5,654
Интервал
−15 ± 5,654 → [−20,65, −9,346]
Ответ
нижняя граница = −20,65 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 833
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·28/2,5)² = 832,4
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 833
Ответ
n = 833
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,5
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 2,4/√16 = 0,6
Статистика критерия
t = −0,9/0,6 = −1,5
Ответ
t = −1,5
При df = 15 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,131; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −2,272
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 56/80 = 0,7
p̂₂ = 68/80 = 0,85
p̂ = 124/160 = 0,775
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,775·0,225·(1/80 + 1/80)) = 0,06603
Статистика критерия
z = (0,7 − 0,85)/0,06603 = −2,272
Ответ
z = −2,272
|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).