Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В рандомизированном исследовании 850 пациентов получили новое лечение, а 200 получили контрольное лечение. В таблице показано, сколько в каждой группе имели побочный эффект. Найдите число пациентов, при лечении которых возникает один вред, NNH: сколько пациентов нужно лечить, чтобы у одного дополнительного пациента возник побочный эффект? Округлите вверх до целого числа пациентов.
лечение: 459/850контроль: 60/200
NNH =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 98% и специфичностью 91%. Распространённость заболевания 25%. Сколько всего положительных результатов n₊ ожидается?
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 102.
μ = 100σ = 5x = 102
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 11 элементов имеет среднее 48,5 и стандартное отклонение s = 14,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 11x̄ = 48,5s = 14,595%t(10) = 2,228
нижняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 15 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 8,2 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 14 2,5 % распределения χ² лежит ниже 5,629 и 2,5 % — выше 26,119.
n = 15s = 8,2 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 50 деталей имеет среднюю длину 79 mm, известное стандартное отклонение линии 10 mm. Линия 2: выборка из 60 деталей имеет среднее 83,4 mm, известное стандартное отклонение 20 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 5E = 199%
n =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: NNH = 5
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Частота событий
EER = 459/850 = 0,54
CER = 60/200 = 0,3
Число пациентов, при лечении которых возникает один вред (NNH)
ARI = 0,54 − 0,3 = 0,24
NNH = 1/0,24 = 4,167 → 5
Ответ
NNH = 5
Примерно у одного из каждых 5 леченых пациентов побочный эффект возникает из-за лечения.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: n₊ = 3125
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,25 = 2500
10 000 − 2500 = 7500
Все положительные результаты
TP = 2500·0,98 = 2450
FP = 7500·0,09 = 675
n₊ = 2450 + 675 = 3125
Ответ
n₊ = 3125
Из 3125 положительных результатов только 2450 относятся к больным (PPV 78,4%).
3.Описательная статистика
Ответ: s = 12,39
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 155/5 = 31
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 9² + (−6)² + 6² + (−19)² + 10² = 614
Стандартное отклонение
s = √(614/4) = 12,39
Ответ
s = 12,39
4.Описательная статистика
Ответ: z = 0,4
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (102 − 100)/5 = 0,4
Ответ
z = 0,4
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 38,76
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 10, t = 2,228
Предельная ошибка
E = 2,228·14,5/√11 = 9,741
Интервал
48,5 ± 9,741 → [38,76, 58,24]
Ответ
нижняя граница = 38,76
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 6,003 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 14·8,2² = 941,4
Границы для σ²
941,4/26,119 = 36,04
941,4/5,629 = 167,2
Граница для σ
σ = √36,04 = 6,003 µm
Ответ
σ = 6,003 µm
95 % интервал для σ: [6,003, 12,93] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −1,495
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартная ошибка разности
SE = √(10²/50 + 20²/60) = √8,667 = 2,944
Статистика критерия
z = (79 − 83,4)/2,944 = −1,495
Ответ
z = −1,495
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 166
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).