Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Тест имеет чувствительность 86% и специфичность 78%. Найдите отрицательное отношение правдоподобия LR−. Округлите до двух знаков после запятой.
Se = 86%Sp = 78%
LR− =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Лечение снижает риск события на 49% в относительном выражении (RRR = 49%). В группе пациентов риск без лечения (CER) за пять лет составляет 27%. Найдите число пациентов, которых необходимо лечить, NNT в течение пяти лет, чтобы предотвратить одно событие. Округлите вверх до целого числа пациентов.
Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 75. Какая доля P значений меньше 410?
μ = 500σ = 75x = 410
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 1. Какой будет предельная ошибка E₂ 99 % интервала по 128 наблюдениям?
95%n₁ = 64E₁ = 199%n₂ = 128
E₂ =
6.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 20. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?
σ = 20E = 199%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 49 студентов имеет средний балл 71,91 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 71,91s = 12n = 49
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 25 измерений имеет среднее 93,3. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 93,3σ = 12n = 2590%
U =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: LR− = 0,18
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Отрицательное отношение правдоподобия
LR− = (1 − 0,86)/0,78 = 0,1795 ≈ 0,18
Ответ
LR− = 0,18
2.Статистика доказательной практики
Ответ: NNT = 8
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Абсолютное снижение риска
ARR = 0,27·0,49 = 0,1323
Число пациентов, которых необходимо лечить (NNT)
NNT = 1/0,1323 = 7,559 → 8
Ответ
NNT = 8
Один и тот же относительный эффект даёт меньший NNT при более высоком исходном риске.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 17,31
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 200/5 = 40
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 0² + 19² + 2² + 7² + (−28)² = 1198
Стандартное отклонение
s = √(1198/4) = 17,31
Ответ
s = 17,31
4.Описательная статистика
Ответ: P = 0,1151
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблица нормального распределения
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Ответ
P = 0,1151
5.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 0,9293
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(64/128) = 0,9293
Новая предельная ошибка
E₂ = 1·0,9293 = 0,9293
Ответ
E₂ = 0,9293
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 2655
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·20/1)² = 2654
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 2655
Ответ
n = 2655
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,803
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714
Статистика критерия
t = (71,91 − 75)/1,714 = −1,803
Ответ
t = −1,803
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 97,25
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).