Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании «случай—контроль» сравнивают 180 пациентов с заболеванием (случаи) и 240 людей без него (контроли). В таблице показано, сколько в каждой группе подвергались воздействию фактора риска. Найдите отношение шансов OR для воздействия. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 67b = 144c = 113d = 96
OR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). У пациента вероятность заболевания до теста составляет 5%. Тест с чувствительностью 69% и специфичностью 69% даёт результат: отрицательна. Найдите вероятность заболевания после теста p′ в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 59.
μ = 50σ = 15x = 59
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
У 7 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −7,6 и стандартное отклонение 2,7. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для средней разности.
n = 7d̄ = −7,6sd = 2,795%t(6) = 2,447
верхняя граница = mmHg
6.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 11 участков, средний урожай 85,5 kg, стандартное отклонение 10 kg. Группа участков 2: 10 участков, среднее 75 kg, стандартное отклонение 4,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 100 студентов имеет средний балл 52,55 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,55s = 15n = 100
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ < 50 проводится при α = 0.01 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 16. В действительности среднее равно 45.8. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.
μ₀ = 50μ = 45,8σ = 16n = 64α = 0,01
1 − β = %
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: OR = 0,4
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Шансы воздействия
случаи: 67/113 = 0,5929
контроли: 144/96 = 1,5
Отношение шансов
OR = (67·96)/(144·113) = 0,3953 ≈ 0,4
Ответ
OR = 0,4
OR ниже 1: воздействие реже встречается среди случаев, что говорит о защитном эффекте.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: p′ = 2,3 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Отношение правдоподобия
LR− = (1 − 0,69)/0,69 = 0,4493
Шансы до теста
0,05/(1 − 0,05) = 0,05263
Шансы после теста
0,05263·0,4493 = 0,02365
Вероятность после теста
p′ = 0,02365/(1 + 0,02365) = 0,0231 ≈ 2,3%
Ответ
p′ = 2,3%
3.Описательная статистика
Ответ: s = 10,63
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (59 − 50)/15 = 0,6
Ответ
z = 0,6
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = −5,103 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 6, t = 2,447
Предельная ошибка
E = 2,447·2,7/√7 = 2,497
Интервал
−7,6 ± 2,497 → [−10,1, −5,103]
Ответ
верхняя граница = −5,103 mmHg
6.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 16,46 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (10·10² + 9·4,5²)/19 = 62,22
sp = 7,888
Предельная ошибка
E = 1,729·7,888·√(1/11 + 1/10) = 5,959
Интервал
10,5 ± 5,959 → [4,541, 16,46]
Ответ
верхняя граница = 16,46 kg
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,7
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5
Статистика критерия
t = (52,55 − 50)/1,5 = 1,7
Ответ
t = 1,7
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: 1 − β = 41,06 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).