Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 7 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 7 mAC = 10 mP₁ = 70 kN в 4 mP₂ = 35 kN в 10 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP = 40 kN в 3,5 mw = 10 kN/m от 3 до 5 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 30 kN ↓C: 40 kN ↓D: 20 kN ↓H: 25 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

D: 25 kN ↓G: 20 kN ↓H: 10 kN ↓H: 20 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 2,5 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 10 kN в 2,5 mw = 5 kN/m от 0 до 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 0 m30 kN @ 6 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 26 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 70 GPa (алюминий)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 8 kNw = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 120 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 90 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 130 × 22 mm, стенку высотой 200 mm и толщиной 16 mm и нижнюю полку 190 × 16 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 130 × 22 mmстенка: 16 × 200 mmнижняя полка: 190 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 5 m имеет C_c = 0,45, C_r = 0,04 и e₀ = 0,85. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 80 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 110 kPa. Новое здание добавляет 150 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 5 mC_c = 0,45C_r = 0,04e₀ = 0,85σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 110 kPaΔσ = 150 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 6,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 2,5 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 80% фактор времени T_v = 0,567. За сколько лет t слой достигнет 80% консолидации?

H = 6,5 mc_v = 2,5 m²/годU = 80%T_v = 0,567двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 100 L/s по трубе длиной 800 m с внутренним диаметром 300 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 100 L/sL = 800 mD = 300 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Уровень воды в верхнем резервуаре на 17 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 17 mL = 150 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (необработанный бетон) имеет ширину 2,5 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,002. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2,5 my = 1,3 mn = 0,014S = 0,002

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (затёртый бетон) шириной 5 m должен пропускать 17 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 17 m³/sb = 5 my = 1,5 mn = 0,012

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 10 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 22 m, а мощность на его валу 3,1 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 10 L/sH = 22 mP_shaft = 3,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 75 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 7 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 250 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 75 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8p_tank = 250 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €8 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 2 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 6 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.

C₁ = €8 000g = 2%r = 6%

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Через 6 лет вам нужно €10 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.

FV = €10 0006% / 12N = 72

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €18 000, €28 000, €17 000, €30 000. Стоимость капитала — 5 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 18 000CF₂ = 28 000CF₃ = 17 000CF₄ = 30 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €21 500, €36 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −50 000CF₁ = 21 500CF₂ = 36 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,0436. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,0436

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 85% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 90 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·7 = 70·4 + 35·10

R_B = 630/7 = 90 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 70 + 35 − 90 = 15 kN

Ответ

R_B = 90 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 44 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3,5 + 10·2·4

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 44 = 16 kN

Ответ

R_B = 44 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 40,31 kN (T), BC: 40,31 kN (T), CD: 45,94 kN (T), DE: 45,94 kN (T), FG: 58,12 kN (C), GH: 58,12 kN (C), AF: 67,19 kN (C), HE: 76,56 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 29,69 kN (T), HC: 20,31 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 3,75 kN (T), BC: 3,75 kN (T), CD: 31,25 kN (T), DE: 31,25 kN (T), FG: 47,5 kN (C), GH: 47,5 kN (C), AF: 33,59 kN (C), HE: 44,19 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 33,59 kN (T), HC: 5,303 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: BF

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −37,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −10·1,5 = −15 kN·m

w: −5·3²/2 = −22,5 kN·m

M_x = −15 − 22,5 = −37,5 kN·m

Ответ

M_x = −37,5 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 1 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 57,5 kN, R₂ = 72,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −40 kN·m, M_C = −22,5, M_D = −5, M_E = 12,5, M_F = −30, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −40 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 3,482 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 26000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa³/(3EI) = 26000·1500³/(3·8,4 × 10¹²) = 3,482 mm

Ответ

δ_P = 3,482 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 11,03 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 8000 N, w = 10 N/mm, L = 4000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 8000·4000³/(48·3,99 × 10¹²) = 2,673 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 8,354 mm

Сложите

δ_max = 2,673 + 8,354 = 11,03 mm

Ответ

δ_max = 11,03 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 131,6 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1000 = 1000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1000² = 131595 N = 131,6 kN

Ответ

P_cr = 131,6 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 11,05 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Ответ

σ_cr = 11,05 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (18000·75 − 706,9·90)/(18000 − 706,9) = 74,39 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·150³/12 + 18000·0,6131² = 33,76 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·15,61² = 0,2121 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 81,53 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 2860 mm², y = 227 mm

стенка: A = 3200 mm², y = 116 mm

нижняя полка: A = 3040 mm², y = 8 mm

Центр тяжести

ȳ = (2860·227 + 3200·116 + 3040·8)/9100 = 114,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 130·22³/12 + 2860·112,2² = 3,612 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·200³/12 + 3200·1,193² = 1,067 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 190·16³/12 + 3040·106,8² = 3,474 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,612 × 10⁷ + 1,067 × 10⁷ + 3,474 × 10⁷

I_x = 8,153 × 10⁷ mm⁴ = 81,53 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 81,53 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 145,5 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 19,5·5 = 145,5 kPa

Ответ

σ = 145,5 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 77,07 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 17·3 + 20,5·1 + 17,5·2 = 106,5 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 106,5 − 29,43 = 77,07 kPa

Ответ

σ′ = 77,07 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 404,5 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 80 + 150 = 230 kPa > 110 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,04·5/(1 + 0,85)·log₁₀(110/80) + 0,45·5/(1 + 0,85)·log₁₀(230/110)

S = 14,95 + 389,6 = 404,5 mm

Ответ

S = 404,5 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 2,396 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 6,5/2 = 3,25 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·3,25²/2,5 = 2,396 годы

Ответ

t = 2,396 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 49,05 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN

Ответ

F = 49,05 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 1,857 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,75·2,25 = 48,67 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,75 + 0,4219/(1,75·2,25) = 1,857 m

Ответ

y_cp = 1,857 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 5,44 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,415²/(2·9,81) = 0,102 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(800/0,3)·1,415²/(2·9,81) = 5,44 m

Ответ

h_f = 5,44 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 272,8 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·150/0,3 = 10

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

17 = (10 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·17/22,4) = 3,859 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,859·0,07069 = 0,2728 m³/s = 272,8 L/s

Ответ

Q = 272,8 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 7,688 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 2,5·1,3 = 3,25 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,3 = 5,1 m

R = A/P = 0,6373 m

Скорость

V = (1/0,014)·0,6373^2/3·0,002^1/2 = 2,366 m/s

Расход

Q = A·V = 3,25·2,366 = 7,688 m³/s

Ответ

Q = 7,688 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0008063 m/m

Геометрия

A = b·y = 5·1,5 = 7,5 m²

P = b + 2y = 5 + 2·1,5 = 8 m

R = A/P = 0,9375 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·17/(7,5·0,9579) = 0,0284

S = 0,0284² = 0,0008063

Ответ

S = 0,0008063

Это понижение на 0,8063 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 69,62 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·22 = 2,158 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 2,158/3,1 = 69,62%

Ответ

η = 69,62%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 37,01 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,119 = 4,521 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 25,48 + 4,521 = 37,01 m

Ответ

H = 37,01 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 200000 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Растущая бессрочная рента

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,06 − 0,02) = 8 000/0,04 = €200 000,00

Ответ

PV = €200 000,00

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 115,7 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·6 = 72

Взнос

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0,005/(1,432 − 1) = €115,73

Ответ

A = €115,73

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 6906 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 18 000/1,05 = 17 142,86

CF₂/(1 + 0,05)² = 28 000/1,103 = 25 396,83

CF₃/(1 + 0,05)³ = 17 000/1,158 = 14 685,24

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 30 000/1,216 = 24 681,07

Сложите

NPV = €6 906,00

Ответ

NPV = €6 906,00

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 9,034 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(5%) = 3 129,25

NPV(10%) = −702,48

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 5 + 5·3 129,25/(3 129,25 − (−702,48)) = 9,083%

точно: NPV(9,034%) = 0 → IRR = 9,034%

Ответ

IRR = 9,034%

29.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,71

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,0436 = 0,9564

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9564 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,71

Ответ

z = 1,71

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 542 h

Площадь слева

Φ(z) = 0,85

z из таблицы

z ≈ 1,04

Возврат к исходным единицам

x = 500 + 1,04·40 = 542 h

Ответ

x = 542 h

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil