Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 4 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 40 kN в 1,5 mP₂ = 65 kN в 6 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 6 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 3 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 4 m до свободного конца в точке 8 m. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 6 mAC = 8 mP = 30 kN в 3 mw = 12 kN/m от 4 до 8 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 40 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

D: 20 kN ↓F: 25 kN ↓G: 30 kN ↓H: 15 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

20 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 5 mw = 6 kN/m от 2 до 5 m

M_max = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 18 kNw = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 100 mm × 240 mm имеет прямоугольный вырез шириной 30 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 84 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 240 mmвырез: 30 × 20 mmцентр отверстия: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 10 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 10 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 6,5 m имеет C_c = 0,45, C_r = 0,02 и e₀ = 0,9. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 90 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 180 kPa. Новое здание добавляет 180 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 6,5 mC_c = 0,45C_r = 0,02e₀ = 0,9σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 180 kPaΔσ = 180 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 2 m имеет коэффициент консолидации c_v = 0,8 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 70% фактор времени T_v = 0,403. За сколько лет t слой достигнет 70% консолидации?

H = 2 mc_v = 0,8 m²/годU = 70%T_v = 0,403односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,6 m/s по горизонтальной трубе длиной 150 m с внутренним диаметром 300 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,6 m/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 900 mm заполнен наполовину. Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

D = 900 mmn = 0,013S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 200 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 0,9 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 12 m. КПД насоса 75%, а КПД приводящего его электродвигателя 90%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 20 L/sH = 12 mη_pump = 75%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 120 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 5 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 120 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €3 000 в конце каждого года в течение 4 лет. Процентная ставка — 4 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €3 000i = 4%n = 4

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €15 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 6 лет. Ставка — 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €15 0005,4% / 12N = 72

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €17 000, €27 000, €28 000, €29 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 17 000CF₂ = 27 000CF₃ = 28 000CF₄ = 29 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €36 500, €35 000, €33 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 500CF₂ = 35 000CF₃ = 33 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 452 и 532 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 452x₂ = 532

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 10 % значений (10-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 10%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 112,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1,5 + 65·6

R_B = 450/4 = 112,5 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 40 + 65 − 112,5 = −7,5 kN

Ответ

R_B = 112,5 kN

R_A отрицательна: шарнир A должен удерживать балку от отрыва.

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 15 kN

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 12·4 = 48 kN, x̄ = (4 + 8)/2 = 6 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·3 + 48·6

R_B = 378/6 = 63 kN

R_A = 78 − 63 = 15 kN

Ответ

R_A = 15 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 35 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 49,5 kN (C), HE: 63,64 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 21,21 kN (C), DG: 7,071 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 17,81 kN (T), BC: 17,81 kN (T), CD: 23,44 kN (T), DE: 23,44 kN (T), FG: 46,88 kN (C), GH: 46,88 kN (C), AF: 54,69 kN (C), HE: 39,06 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 23,44 kN (T), HC: 14,06 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 25 kN, R₂ = 25 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 22,5, M_C = 40, M_D = 52,5 kN·m, M_E = 40, M_F = 22,5, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 52,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 13,23 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·3·3,5

R_B = 63/5 = 12,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 12,6 = 5,4 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 5,4/6 = 2,9 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 5,4·2,9 − 6·0,9²/2 = 13,23 kN·m

Ответ

M_max = 13,23 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 35,23 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 35,23 mm

Ответ

δ_max = 35,23 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 12,67 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 18000 N, w = 4 N/mm, L = 8000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·8000³/(48·3,2 × 10¹³) = 6 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 6,667 mm

Сложите

δ_max = 6 + 6,667 = 12,67 mm

Ответ

δ_max = 12,67 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 8,996 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2000² = 8996 N = 8,996 kN

Ответ

P_cr = 8,996 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 26,99 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Ответ

σ_cr = 26,99 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 48,73 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

стенка: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·275 + 2600·130)/6800 = 219,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·30³/12 + 4200·(275 − 219,6)² = 1,322 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·260³/12 + 2600·(130 − 219,6)² = 3,55 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,322 × 10⁷ + 3,55 × 10⁷ = 4,873 × 10⁷ mm⁴ = 48,73 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 48,73 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 114,4 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·120 − 600·84)/(24000 − 600) = 120,9 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·240³/12 + 24000·−0,9231² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

30·20³/12 + 600·−36,92² = 0,838 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 114,4 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 114,4 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 68,67 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Ответ

u = 68,67 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 112,3 kPa

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·4

σ = 16,5·3 + 18,5·3 + 19·4 = 181 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 181 − 68,67 = 112,3 kPa

Ответ

σ′ = 112,3 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 291,7 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 90 + 180 = 270 kPa > 180 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,02·6,5/(1 + 0,9)·log₁₀(180/90) + 0,45·6,5/(1 + 0,9)·log₁₀(270/180)

S = 20,6 + 271,1 = 291,7 mm

Ответ

S = 291,7 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 2,015 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 2 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·2²/0,8 = 2,015 годы

Ответ

t = 2,015 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 38,63 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·2,25 = 38,63 kN

Ответ

F = 38,63 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 5,636 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·5,5·6 = 407,9 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,5 + 4,5/(5,5·6) = 5,636 m

Ответ

y_cp = 5,636 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 14,08 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(150/0,3)·1,6²/(2·9,81) = 1,435 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,435 = 14080 Pa = 14,08 kPa

Ответ

Δp = 14,08 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 8,637 m

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

V²/(2g) = 0,5876 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·100/0,15 = 10

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Полная потеря напора

h_f = 10·0,5876 = 5,876 m

h_m = 4,7·0,5876 = 2,762 m

Δz = h_f + h_m = 8,637 m

Ответ

Δz = 8,637 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,256 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,3181 m², R = D/4 = 0,225 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,225^2/3·0,0008^1/2 = 0,8049 m/s

Расход

Q = A·V = 0,3181·0,8049 = 0,256 m³/s

Ответ

Q = 0,256 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,007432 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,1357)² = 0,007432

Ответ

S = 0,007432

Это понижение на 7,432 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 3,488 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·12 = 2,354 kW

Мощность на валу

P_shaft = 2,354/0,75 = 3,139 kW

Электрическая мощность

P_el = 3,139/0,9 = 3,488 kW

Ответ

P_el = 3,488 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 10,12 m

Скорость

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8,8 + 8)·0,3046 = 5,117 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 5 + 5,117 = 10,12 m

Ответ

H = 10,12 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 10890 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,8548)/0,04 = 3,63

Приведённая стоимость

PV = 3 000·3,63 = €10 889,69

Ответ

PV = €10 889,69

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 244,4 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·6 = 72

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,7238

A = 15 000·0,0045/(1 − 0,7238) = €244,37

Ответ

A = €244,37

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 7432 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 17 000/1,08 = 15 740,74

CF₂/(1 + 0,08)² = 27 000/1,166 = 23 148,15

CF₃/(1 + 0,08)³ = 28 000/1,26 = 22 227,30

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 29 000/1,36 = 21 315,87

Сложите

NPV = €7 432,06

Ответ

NPV = €7 432,06

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 49,41 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(45%) = 2 643,81

NPV(50%) = −333,33

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 45 + 5·2 643,81/(2 643,81 − (−333,33)) = 49,44%

точно: NPV(49,41%) = 0 → IRR = 49,41%

Ответ

IRR = 49,41%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6731

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (452 − 500)/40 = −1,2

z₂ = (532 − 500)/40 = 0,8

Площадь между

P = Φ(0,8) − Φ(−1,2) = 0,7881 − 0,1151 = 0,6731

Ответ

P = 0,6731

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 52,18 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Обратно к x

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 баллов

Ответ

x = 52,18 баллов

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil