Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3,5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 3,5 mAC = 5 mP₁ = 20 kN в 2 mP₂ = 10 kN в 5 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP = 20 kN в 1,5 mw = 2 kN/m от 2 до 5 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 25 kN ↓D: 35 kN ↓F: 30 kN ↓H: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 50 kNгоризонтальная нагрузка = 5 kN →

F_AC = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 3 kN/m от 0 до 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 60 kN в 3 mw = 6 kN/m от 0 до 10 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 8 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 145 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 145 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 120 mm и внутренний диаметр d = 96 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 120 mmd = 96 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15,5 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 7,5 m имеет C_c = 0,35, C_r = 0,02 и e₀ = 1,15. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 90 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 2,5. Новое здание добавляет 80 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 7,5 mC_c = 0,35C_r = 0,02e₀ = 1,15σ′₀ = 90 kPaOCR = 2,5Δσ = 80 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 7 m имеет коэффициент консолидации c_v = 0,8 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 80% фактор времени T_v = 0,567. За сколько лет t слой достигнет 80% консолидации?

H = 7 mc_v = 0,8 m²/годU = 80%T_v = 0,567односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 20 L/s по трубе длиной 150 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 20 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Уровень воды в верхнем резервуаре на 8 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 8 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) имеет ширину по дну 2,5 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 0,7 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2,5 my = 0,7 mz = 3n = 0,015S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (гравий) с шириной по дну 1,5 m и заложением откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 9,2 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 9,2 m³/sb = 1,5 my = 1,3 mz = 1,5n = 0,025

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 26 m, а мощность на его валу 6,5 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 20 L/sH = 26 mP_shaft = 6,5 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 9 m выше. Труба длиной 400 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 82%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 50 L/sΔz = 9 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 22 % годовых с ежеквартальной капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 22%m = 4

EAR = %

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €15 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 5 лет. Ставка — 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €15 0003,6% / 12N = 60

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €80 000 сегодня, служит 5 лет, а его эксплуатация обходится в €5 000 в год (оплата в конце каждого года). Стоимость капитала — 8 %. Найдите его эквивалентные годовые затраты EAC.

C₀ = €80 000M = €5 000n = 5r = 8%

EAC = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 и приносит €31 000, €21 500, €25 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −50 000CF₁ = 31 000CF₂ = 21 500CF₃ = 25 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 34,5 min. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34,5 min

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 95% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g95%

x = g

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 25,71 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·3,5 = 20·2 + 10·5

R_B = 90/3,5 = 25,71 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 20 + 10 − 25,71 = 4,286 kN

Ответ

R_B = 25,71 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 15,8 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1,5 + 2·3·3,5

R_B = 51/5 = 10,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 26 − 10,2 = 15,8 kN

Ответ

R_A = 15,8 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 70 kN (T), BC: 66,67 kN (T), CD: 66,67 kN (T), DE: 63,33 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 63,33 kN (C), AF: 87,5 kN (C), HE: 79,17 kN (C), BF: 22,5 kN (T), CG: 0, DH: 37,5 kN (T), BG: 4,167 kN (T), DG: 4,167 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 15,31 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·1 + 5·4 → C_y = 8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 8,75 = 41,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/8,062 = 0,4961, cos γ = 7/8,062 = 0,8682

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,75/0,4961 = −17,64 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−17,64)·0,8682 = 15,31 kN

Ответ

F_AC = 15,31 kN (растяжение)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 9 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 7,5·3 − 3·3·1,5 = 9 kN·m

Ответ

M_x = 9 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 173,3 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3 + 6·10·5

R_B = 480/10 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 48 = 72 kN

Рассеките в x = 4,5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 72·4,5 − 60·(4,5 − 3) − 6·4,5·2,25 = 173,3 kN·m

Ответ

M_x = 173,3 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 15,76 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 8000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 8000·1500²·2500²/(3·5,95 × 10¹¹·4000) = 15,76 mm

Ответ

δ_P = 15,76 mm

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 25,71 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·4000⁴/(384·70000·11,11) = 2,571 × 10⁷ mm⁴

I_req = 25,71 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 25,71 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 7,197 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2500² = 7197 N = 7,197 kN

Ответ

P_cr = 7,197 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 139,1 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·145000 = 362500 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·362500·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 139,1 mm

Ответ

d = 139,1 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 287,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 38,42 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 4072 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6,01 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(6,01 × 10⁶/4072) = 38,42 mm

Ответ

r = 38,42 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 104,3 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

стенка: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·305 + 4800·150)/7800 = 209,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·10³/12 + 3000·(305 − 209,6)² = 2,732 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·300³/12 + 4800·(150 − 209,6)² = 5,306 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,732 × 10⁷ + 5,306 × 10⁷ = 8,038 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 209,6 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·209,6/8,038 × 10⁷ = 104,3 MPa

Ответ

σ_низ = 104,3 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 65,5 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·3 + 19·1 = 65,5 kPa

Ответ

σ = 65,5 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 154,5 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3

σ = 15·4 + 19,5·2 + 18,5·3 = 154,5 kPa

Ответ

σ = 154,5 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 19,27 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·90 = 225 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 90 + 80 = 170 kPa ≤ 225 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·7,5/(1 + 1,15)·log₁₀(170/90) = 19,27 mm

Ответ

S = 19,27 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 34,73 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 7 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·7²/0,8 = 34,73 годы

Ответ

t = 34,73 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 88,29 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·6 = 88,29 kN

Ответ

F = 88,29 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 88,29 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·2 = 88,29 kN

Ответ

F = 88,29 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 8,924 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(150/0,1)·2,546²/(2·9,81) = 8,924 m

Ответ

h_f = 8,924 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 135,2 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·200/0,25 = 16

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

8 = (16 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·8/20,7) = 2,754 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 2,754·0,04909 = 0,1352 m³/s = 135,2 L/s

Ответ

Q = 135,2 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 3,643 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·0,7)·0,7 = 3,22 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,7·√(1 + 3²) = 6,927 m

R = A/P = 0,4648 m

Скорость

V = (1/0,015)·0,4648^2/3·0,0008^1/2 = 1,131 m/s

Расход

Q = A·V = 3,22·1,131 = 3,643 m³/s

Ответ

Q = 3,643 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,004039 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1,5·1,3)·1,3 = 4,485 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,3·√(1 + 1,5²) = 6,187 m

R = A/P = 0,7249 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·9,2/(4,485·0,8069) = 0,06355

S = 0,06355² = 0,004039

Ответ

S = 0,004039

Это понижение на 4,039 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 78,48 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·26 = 5,101 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 5,101/6,5 = 78,48%

Ответ

η = 78,48%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 9,863 kW

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,1291 = 7,488 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 9 + 7,488 = 16,49 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·16,49/0,82 = 9,863 kW

Ответ

P_shaft = 9,863 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 23,88 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,22/4 = 0,055

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,055)⁴ − 1 = 1,239 − 1 = 23,88%

Ответ

EAR = 23,88%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 273,5 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·5 = 60

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,8355

A = 15 000·0,003/(1 − 0,8355) = €273,55

Ответ

A = €273,55

27.NPV и IRR

Ответ: EAC = 25037 €

Эквивалентные годовые затраты: распределите приведённую стоимость всех затрат по сроку службы в виде равной ежегодной суммы (аннуитета): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Это позволяет сравнивать станки с разным сроком службы.

Коэффициент аннуитета

(1 − 1,08⁻⁵)/0,08 = 3,993

Цена покупки в пересчёте на год

80 000/3,993 = 20 036,52

EAC

EAC = 20 036,52 + 5 000 = €25 036,52

Ответ

EAC = €25 036,52

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 26,92 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(25%) = 1 360,00

NPV(30%) = −2 052,80

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 25 + 5·1 360,00/(1 360,00 − (−2 052,80)) = 26,99%

точно: NPV(26,92%) = 0 → IRR = 26,92%

Ответ

IRR = 26,92%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (34,5 − 32)/2,5 = 1

Верхний хвост

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 258,2 g

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,95

z из таблицы

z ≈ 1,64

Возврат к исходным единицам

x = 250 + 1,64·5 = 258,2 g

Ответ

x = 258,2 g

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil