Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 6 mP₁ = 10 kN в 2 mP₂ = 40 kN в 2,5 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 4 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 3 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 8 mw₀ = 4 kN/mP = 20 kN в 3 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

G: 20 kN ↓H: 35 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

10 kN @ 3 m6 kN/m, 2–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите изгибающий момент M_B на опоре B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 7 mw = 5 kN/m от 0 до 7 mопоры при x = 0 и x = 6 m

M_B = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 11 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 2,5 m от опоры B. Найдите прогиб δ_mid в середине пролёта.

P = 17 kNb = 2,5 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 40 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 300 mmd = 40 mmцентр отверстия: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 150 mm × 150 mm имеет прямоугольный вырез шириной 60 mm и высотой 50 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 45 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 150 mmвырез: 60 × 50 mmцентр отверстия: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 7,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 8 m имеет C_c = 0,3, C_r = 0,05 и e₀ = 1,1. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 100 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 220 kPa. Новое здание добавляет 85 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 8 mC_c = 0,3C_r = 0,05e₀ = 1,1σ′₀ = 100 kPaσ′_p = 220 kPaΔσ = 85 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 6,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 1 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 90% фактор времени T_v = 0,848. За сколько лет t слой достигнет 90% консолидации?

H = 6,5 mc_v = 1 m²/годU = 90%T_v = 0,848односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 30 L/s по трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 30 L/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 150 m с внутренним диаметром 100 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,015) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 2). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 12 L/s?

Q = 12 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (гравий) имеет ширину 5,5 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1,4 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025, уклон дна S = 0,0015. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5,5 my = 1,4 mn = 0,025S = 0,0015

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 375 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 0,6 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 52 m, а мощность на его валу 12 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 20 L/sH = 52 mP_shaft = 12 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 25 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 8 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 82%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 25 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6η = 82%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под номинальную ставку 6 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 10 лет.

PV = €5 0006% / 12n = 10

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €2 000 в начале каждого года в течение 12 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 7 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 12? Найдите FV.

A = €2 000i = 7%n = 12

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €6 000, €4 000, €8 000, €5 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 4 000CF₃ = 8 000CF₄ = 5 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €12 000, €12 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 000CF₂ = 12 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,9616. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9616

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 30 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2 + 40·2,5

R_B = 120/6 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 20 = 30 kN

Ответ

R_A = 30 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 145,3 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·4·8 = 16 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 16·5,333 + 20·3 = 145,3 kN·m

Ответ

M_A = 145,3 kN·m

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −27,67 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 → C_y = 8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8,75 = 26,25 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −26,25/0,9487 = −27,67 kN

Ответ

F_AB = −27,67 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 12,92 kN (C), BC: 9,167 kN (T), CD: 9,167 kN (T), DE: 4,583 kN (T), FG: 22,08 kN (C), GH: 39,58 kN (C), AF: 27,6 kN (C), HE: 5,729 kN (C), BF: 16,56 kN (T), CG: 0, DH: 3,438 kN (T), BG: 27,6 kN (C), DG: 5,729 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 12,5 kN, R₂ = 15,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 12,5, M_C = 25, M_D = 34,5 kN·m, M_E = 28, M_F = 15,5, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 34,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_B = −2,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·7 = 35 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·7·3,5

R_B = 122,5/6 = 20,42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 20,42 = 14,58 kN

Сечение в B, оставляем консольный свес

Нагрузка на свесе, w·a, приложена на расстоянии a/2 от B и создаёт над опорой отрицательный момент (растянуты верхние волокна).

M_B = −w·a²/2 = −5·1²/2 = −2,5 kN·m

Ответ

M_B = −2,5 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 4,911 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 11000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa³/(3EI) = 11000·1500³/(3·2,52 × 10¹²) = 4,911 mm

Ответ

δ_P = 4,911 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_mid = 3,062 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 17000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Прогиб в середине пролёта

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 17000·2500·(3·6000² − 4·2500²)/(48·2,4 × 10¹³) = 3,062 mm

Ответ

δ_mid = 3,062 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 11,99 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·3000 = 6000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/6000² = 11994 N = 11,99 kN

Ответ

P_cr = 11,99 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 179 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/10 = 105

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Ответ

σ_cr = 179 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (60000·150 − 1257·120)/(60000 − 1257) = 150,6 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·300³/12 + 60000·−0,6418² = 450 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−30,64² = 1,306 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 38,45 × 10⁶ mm⁴

Центр тяжести

ȳ = (22500·75 − 3000·45)/(22500 − 3000) = 79,62 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·150³/12 + 22500·−4,615² = 42,67 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

60·50³/12 + 3000·−34,62² = 4,22 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 38,45 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 38,45 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 76,19 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·4 + 20·1 = 86 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 86 − 9,81 = 76,19 kPa

Ответ

σ′ = 76,19 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 133,8 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3,5

σ = 16·2 + 18,5·2 + 18,5·3,5 = 133,8 kPa

Ответ

σ = 133,8 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 50,89 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 100 + 85 = 185 kPa ≤ 220 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·8/(1 + 1,1)·log₁₀(185/100) = 50,89 mm

Ответ

S = 50,89 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 35,83 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 6,5 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·6,5²/1 = 35,83 годы

Ответ

t = 35,83 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 18,39 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·1,5 = 18,39 kN

Ответ

F = 18,39 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,41 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,25·2,5 = 70,14 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 1,302/(3,25·2,5) = 3,41 m

Ответ

y_cp = 3,41 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 0,05711 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,03/0,04909 = 0,6112 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 0,6112²/(2·9,81) = 0,01904 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,25)·0,6112²/(2·9,81) = 0,05711 m

Ответ

h_f = 0,05711 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 3,165 m

Скорость

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·150/0,1 = 22,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 22,5 + 3,1)·0,119 = 3,165 m

Ответ

H = 3,165 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 11,35 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 5,5·1,4 = 7,7 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·1,4 = 8,3 m

R = A/P = 0,9277 m

Скорость

V = (1/0,025)·0,9277^2/3·0,0015^1/2 = 1,474 m/s

Расход

Q = A·V = 7,7·1,474 = 11,35 m³/s

Ответ

Q = 11,35 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001429 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,2064)² = 0,001429

Ответ

S = 0,001429

Это понижение на 1,429 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 85,02 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·52 = 10,2 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 10,2/12 = 85,02%

Ответ

η = 85,02%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 2,881 kW

Скорость

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 6)·0,102 = 1,632 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 8 + 1,632 = 9,632 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,025·9,632/0,82 = 2,881 kW

Ответ

P_shaft = 2,881 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 9097 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,06/12 = 0,005

N = m·n = 12·10 = 120

Будущая стоимость

FV = 5 000·(1 + 0,005)¹²⁰ = 5 000·1,819 = €9 096,98

Ответ

FV = €9 096,98

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 38281 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,07)¹² − 1)/0,07 = 17,89

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 2 000·17,89·1,07 = €38 281,29

Ответ

FV = €38 281,29

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −2582 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 6 000/1,12 = 5 357,14

CF₂/(1 + 0,12)² = 4 000/1,254 = 3 188,78

CF₃/(1 + 0,12)³ = 8 000/1,405 = 5 694,24

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 5 000/1,574 = 3 177,59

Сложите

NPV = €−2 582,25

Ответ

NPV = €−2 582,25

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 13,07 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 826,45

NPV(15%) = −491,49

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·826,45/(826,45 − (−491,49)) = 13,14%

точно: NPV(13,07%) = 0 → IRR = 13,07%

Ответ

IRR = 13,07%

29.Нормальное распределение

Ответ: z = −1,77

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,9616 = 0,0384

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,0384 внутри таблицы и считайте z.

z = −1,77

Ответ

z = −1,77

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil