Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP₁ = 35 kN в 1 mP₂ = 60 kN в 3,5 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 20 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 4 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 8 mw₀ = 20 kN/mP = 50 kN в 4 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 30 kN ↓F: 10 kN ↓G: 35 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 2 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN ←

F_AB = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

10 kN @ 10 m15 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 15 kN в 4 mw = 5 kN/m от 0 до 10 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 18 kNw = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 200 mm и толщиной 10 mm, полную высоту 460 mm и стенку толщиной 8 mm. Найдите его момент сопротивления S_x при изгибе относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 200 mmH = 460 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_низ = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 3 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 2 m имеет C_c = 0,4, C_r = 0,06 и e₀ = 1,15. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 85 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 145 kPa. Новое здание добавляет 15 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 2 mC_c = 0,4C_r = 0,06e₀ = 1,15σ′₀ = 85 kPaσ′_p = 145 kPaΔσ = 15 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 9 m имеет коэффициент консолидации c_v = 1,2 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 70% фактор времени T_v = 0,403. За сколько лет t слой достигнет 70% консолидации?

H = 9 mc_v = 1,2 m²/годU = 70%T_v = 0,403двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 5 L/s по трубе длиной 150 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 5 L/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 200 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Уровень воды в верхнем резервуаре на 20 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 20 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) имеет ширину по дну 6 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 2,1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015, уклон дна S = 0,0005. Найдите расход Q в m³/s.

b = 6 my = 2,1 mz = 2n = 0,015S = 0,0005

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (затёртый бетон) шириной 1 m должен пропускать 1,3 m³/s при равномерном течении с глубиной 1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 1,3 m³/sb = 1 my = 1 mn = 0,012

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 100 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 32 m. КПД насоса 60%, а КПД приводящего его электродвигателя 90%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 100 L/sH = 32 mη_pump = 60%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 8 m выше. Труба длиной 600 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 100 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 50 L/sΔz = 8 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 15 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 15%m = 12

EAR = %

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 6 лет. Ставка — 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €25 0004,8% / 12N = 72

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €34 000, €26 000, €25 000, €27 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 34 000CF₂ = 26 000CF₃ = 25 000CF₄ = 27 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €5 500, €5 500, €3 500, €3 000 в конце годов с 1-го по 4-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 12 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 12%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 5 500CF₃ = 3 500CF₄ = 3 000

MIRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8415. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8415

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 20% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов20%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 46 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·1 + 60·3,5

R_B = 245/5 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 49 = 46 kN

Ответ

R_A = 46 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 626,7 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·20·8 = 80 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 80·5,333 + 50·4 = 626,7 kN·m

Ответ

M_A = 626,7 kN·m

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 47,5 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 47,5 kN (C), GH: 27,5 kN (C), AF: 67,18 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 37,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 10,61 kN (C), DG: 38,89 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −31,3 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·4 − 15·2 → C_y = 26 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 26 = 14 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −14/0,4472 = −31,3 kN

Ответ

F_AB = −31,3 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 91,67 kN, R₂ = 98,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 153,3, M_C = 246,7, M_D = 280 kN·m, M_E = 253,3, M_F = 166,7, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 280 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 16,38 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·4 + 5·10·5

R_B = 310/10 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 31 = 34 kN

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 34·0,5 − 5·0,5·0,25 = 16,38 kN·m

Ответ

M_x = 16,38 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 31,96 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 31,96 mm

Ответ

δ_max = 31,96 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 7,087 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 18000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·1500³/(48·2,53 × 10¹¹) = 5,002 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·1500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 2,084 mm

Сложите

δ_max = 5,002 + 2,084 = 7,087 mm

Ответ

δ_max = 7,087 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 9,922 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

Ответ

P_cr = 9,922 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 4,819 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/6,25 = 640

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4,819 MPa

Ответ

σ_cr = 4,819 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: S_x = 1127 × 10³ mm³

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 460 − 2·10 = 440 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·460³ − 192·440³)/12

I_x = 2,593 × 10⁸ mm⁴

Момент сопротивления сечения

c = H/2 = 230 mm

S_x = I/c = 2,593 × 10⁸/230

S_x = 1,127 × 10⁶ mm³ = 1127 × 10³ mm³

Ответ

S_x = 1127 × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 61,93 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

стенка: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·310 + 5400·150)/11400 = 234,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·20³/12 + 6000·(310 − 234,2)² = 3,466 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·300³/12 + 5400·(150 − 234,2)² = 7,879 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,466 × 10⁷ + 7,879 × 10⁷ = 1,135 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 234,2 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·234,2/1,135 × 10⁸ = 61,93 MPa

Ответ

σ_низ = 61,93 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 9,81 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Ответ

u = 9,81 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 112 kPa

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 17·2 + 20·2 + 19·2 = 112 kPa

Ответ

σ = 112 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 3,939 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 85 + 15 = 100 kPa ≤ 145 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·2/(1 + 1,15)·log₁₀(100/85) = 3,939 mm

Ответ

S = 3,939 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 6,801 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 9/2 = 4,5 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·4,5²/1,2 = 6,801 годы

Ответ

t = 6,801 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 139,8 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·3 = 139,8 kN

Ответ

F = 139,8 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 194,7 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,5·4,5 = 194,7 kN

Ответ

F = 194,7 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 2,35 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,005/0,004418 = 1,132 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,132²/(2·9,81) = 0,06529 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(150/0,075)·1,132²/(2·9,81) = 2,35 m

Ответ

h_f = 2,35 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 145,1 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·100/0,2 = 11

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

20 = (11 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·20/18,4) = 4,618 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 4,618·0,03142 = 0,1451 m³/s = 145,1 L/s

Ответ

Q = 145,1 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 39,8 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (6 + 2·2,1)·2,1 = 21,42 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2,1·√(1 + 2²) = 15,39 m

R = A/P = 1,392 m

Скорость

V = (1/0,015)·1,392^2/3·0,0005^1/2 = 1,858 m/s

Расход

Q = A·V = 21,42·1,858 = 39,8 m³/s

Ответ

Q = 39,8 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001053 m/m

Геометрия

A = b·y = 1·1 = 1 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1 = 3 m

R = A/P = 0,3333 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·1,3/(1·0,4807) = 0,03245

S = 0,03245² = 0,001053

Ответ

S = 0,001053

Это понижение на 1,053 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 58,13 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·32 = 31,39 kW

Мощность на валу

P_shaft = 31,39/0,6 = 52,32 kW

Электрическая мощность

P_el = 52,32/0,9 = 58,13 kW

Ответ

P_el = 58,13 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 57,36 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (88 + 8)·0,408 = 39,17 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 8 + 10,19 + 39,17 = 57,36 m

Ответ

H = 57,36 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 16,08 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,15/12 = 0,0125

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,0125)¹² − 1 = 1,161 − 1 = 16,08%

Ответ

EAR = 16,08%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 400,3 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·6 = 72

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,7502

A = 25 000·0,004/(1 − 0,7502) = €400,31

Ответ

A = €400,31

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 22592 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 34 000/1,06 = 32 075,47

CF₂/(1 + 0,06)² = 26 000/1,124 = 23 139,91

CF₃/(1 + 0,06)³ = 25 000/1,191 = 20 990,48

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 27 000/1,262 = 21 386,53

Сложите

NPV = €22 592,39

Ответ

NPV = €22 592,39

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 21,16 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

5 500·1,12³ = 7 727,10

5 500·1,12² = 6 899,20

3 500·1,12¹ = 3 920,00

3 000·1,12⁰ = 3 000,00

TV = 21 546,30

MIRR

MIRR = (21 546,30/10 000)^1/4 − 1 = 21,16%

Ответ

MIRR = 21,16%

29.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,41

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8415)/2 = 0,9207

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9207 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,41

Ответ

z = 1,41

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 56,6 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,2

z из таблицы

z ≈ −0,84

Возврат к исходным единицам

x = 65 − 0,84·10 = 56,6 баллов

Ответ

x = 56,6 баллов

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil