Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP₁ = 35 kN в 2 mP₂ = 10 kN в 3 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP = 55 kN в 3 mw = 12 kN/m от 0 до 5 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 2 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 60 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

C: 25 kN ↓D: 20 kN ↓F: 10 kN ↓F: 10 kN →G: 15 kN ↓H: 35 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 40 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 1 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mM₀ = 40 kN·m по часовой стрелке, в точке 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите расстояние x_c от A до точки перегиба между опорами (где изгибающий момент меняет знак).

L = 7,5 mw = 10 kN/m от 0 до 7,5 mопоры при x = 0 и x = 5 m

x_c = m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 240 mm и внутренний диаметр d = 224 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 240 mmd = 224 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 100 mm × 240 mm имеет прямоугольный вырез шириной 60 mm и высотой 50 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 156 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 240 mmвырез: 60 × 50 mmцентр отверстия: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 7,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 8 m имеет C_c = 0,2, C_r = 0,04 и e₀ = 0,65. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 85 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 165 kPa. Новое здание добавляет 15 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 8 mC_c = 0,2C_r = 0,04e₀ = 0,65σ′₀ = 85 kPaσ′_p = 165 kPaΔσ = 15 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 6 m имеет коэффициент консолидации c_v = 5 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 60% фактор времени T_v = 0,287. За сколько лет t слой достигнет 60% консолидации?

H = 6 mc_v = 5 m²/годU = 60%T_v = 0,287односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,7 m/s по горизонтальной трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,03 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,7 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 500 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Уровень воды в верхнем резервуаре на 26 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 26 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 600 mm заполнен наполовину. Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,0005. Найдите расход Q в m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,0005

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) с шириной по дну 3,5 m и заложением откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 65 m³/s при равномерном течении с глубиной 2,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 65 m³/sb = 3,5 my = 2,5 mz = 3n = 0,012

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 85% подаёт 100 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 14 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 100 L/sH = 14 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 100 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 23 m выше. Труба длиной 400 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 100 L/sΔz = 23 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €2 000 под номинальную ставку 4,8 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 9 лет.

PV = €2 0004,8% / 4n = 9

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €2 000 в начале каждого года в течение 22 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 3 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 22? Найдите FV.

A = €2 000i = 3%n = 22

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €30 000 сегодня. Он приносит €4 000 в конце каждого года в течение 8 лет, а затем может быть продан за €4 500. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €30 000CF = €4 000S = €4 500n = 8r = 8%

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Инвестиция €80 000 приносит €15 000 в конце каждого года в течение 8 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €80 000CF = €15 000n = 8

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 482 и 572 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 482x₂ = 572

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,03 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 20 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2 + 10·3

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 20 = 25 kN

Ответ

R_B = 20 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 52 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·3 + 12·5·2,5

R_B = 315/5 = 63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 63 = 52 kN

Ответ

R_A = 52 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −43,27 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·3 → C_y = 36 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 36 = 24 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −24/0,5547 = −43,27 kN

Ответ

F_AB = −43,27 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 48,75 kN (T), BC: 48,75 kN (T), CD: 66,25 kN (T), DE: 66,25 kN (T), FG: 77,5 kN (C), GH: 77,5 kN (C), AF: 54,8 kN (C), HE: 93,69 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 40,66 kN (T), HC: 15,91 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −10 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/4 = 10 kN (вверх)

R_A = −R_B = −10 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только R_A.

M_x = R_A·a = −10·1 = −10 kN·m

Ответ

M_x = −10 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: x_c = 3,75 m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·7,5 = 75 kN, приложена в x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·7,5·3,75

R_B = 281,3/5 = 56,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 56,25 = 18,75 kN

Нулевой момент

Между опорами M(x) = R_A·x − w·x²/2. Кроме x = 0, он равен нулю при x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·18,75/10 = 3,75 m

Ответ

x_c = 3,75 m

7.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,00303 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 12·2000³/(24·1,32 × 10¹²) = 0,00303 rad

Ответ

θ_A = 0,00303 rad

Это 0,1736°.

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2000⁴/(384·11000·5,556) = 3,409 × 10⁷ mm⁴

I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 6,89 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6,89 kN

Ответ

P_cr = 6,89 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 77,11 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6,25 = 160

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Ответ

σ_cr = 77,11 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 82,07 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 5831 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,928 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(3,928 × 10⁷/5831) = 82,07 mm

Ответ

r = 82,07 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 110,1 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·120 − 3000·156)/(24000 − 3000) = 114,9 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·240³/12 + 24000·5,143² = 115,8 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

60·50³/12 + 3000·41,14² = 5,703 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 110,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 110,1 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 49,05 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ответ

u = 49,05 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 44,15 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Ответ

u = 44,15 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 13,69 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 85 + 15 = 100 kPa ≤ 165 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,04·8/(1 + 0,65)·log₁₀(100/85) = 13,69 mm

Ответ

S = 13,69 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 2,066 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 6 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·6²/5 = 2,066 годы

Ответ

t = 2,066 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 110,4 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·5 = 110,4 kN

Ответ

F = 110,4 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 226,2 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,5·9 = 226,2 kN

Ответ

F = 226,2 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 145,8 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,075)·2,7²/(2·9,81) = 14,86 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·14,86 = 145800 Pa = 145,8 kPa

Ответ

Δp = 145,8 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 189 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·500/0,25 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

26 = (30 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·26/34,4) = 3,851 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,851·0,04909 = 0,189 m³/s = 189 L/s

Ответ

Q = 189 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,06865 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,1414 m², R = D/4 = 0,15 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,0005^1/2 = 0,4856 m/s

Расход

Q = A·V = 0,1414·0,4856 = 0,06865 m³/s

Ответ

Q = 0,06865 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0005021 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 3·2,5)·2,5 = 27,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·2,5·√(1 + 3²) = 19,31 m

R = A/P = 1,424 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·65/(27,5·1,266) = 0,02241

S = 0,02241² = 0,0005021

Ответ

S = 0,0005021

Это понижение на 0,5021 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 16,16 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·14 = 13,73 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 13,73/0,85 = 16,16 kW

Ответ

P_shaft = 16,16 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 33,15 m

Скорость

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0,2115 = 10,15 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 23 + 10,15 = 33,15 m

Ответ

H = 33,15 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 3073 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,048/4 = 0,012

N = m·n = 4·9 = 36

Будущая стоимость

FV = 2 000·(1 + 0,012)³⁶ = 2 000·1,536 = €3 072,76

Ответ

FV = €3 072,76

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 62906 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,03)²² − 1)/0,03 = 30,54

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 2 000·30,54·1,03 = €62 905,77

Ответ

FV = €62 905,77

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −4582 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

4 000·5,747 = 22 986,56

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

4 500/1,851 = 2 431,21

NPV

NPV = −30 000 + 22 986,56 + 2 431,21 = −€4 582,23

Ответ

NPV = −€4 582,23

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 10,01 %

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 80 000/15 000 = 5,333

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 10%: 5,335

i = 11%: 5,146

IRR = 10,01%

Ответ

IRR = 10,01%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6377

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (482 − 500)/40 = −0,45

z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8

Площадь между

P = Φ(1,8) − Φ(−0,45) = 0,9641 − 0,3264 = 0,6377

Ответ

P = 0,6377

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,983

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12

Вероятность

P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983

Ответ

P = 0,983

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil