Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 6 mP₁ = 20 kN в 2 mP₂ = 20 kN в 5 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 3 m до свободного конца в точке 8 m. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 5 mAC = 8 mP = 65 kN в 1 mw = 6 kN/m от 3 до 8 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 10 kN ↓F: 35 kN ↓H: 15 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 10 kN ↓F: 25 kN ↓H: 30 kN ↓H: 10 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A. Найдите изгибающий момент M_A в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 45 kN в 1 mw = 5 kN/m от 0 до 4 m

M_A = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 6 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 40 kN в 6 mw = 5 kN/m от 0 до 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1 m от опоры B. Найдите прогиб δ_mid в середине пролёта.

P = 6 kNb = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 120 mm × 150 mm имеет прямоугольный вырез шириной 40 mm и высотой 40 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 105 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 150 mmвырез: 40 × 40 mmцентр отверстия: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 7,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 6,5 m имеет C_c = 0,4, C_r = 0,05 и e₀ = 0,95. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 95 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 165 kPa. Новое здание добавляет 210 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 6,5 mC_c = 0,4C_r = 0,05e₀ = 0,95σ′₀ = 95 kPaσ′_p = 165 kPaΔσ = 210 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 7,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 4 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 70% фактор времени T_v = 0,403. За сколько лет t слой достигнет 70% консолидации?

H = 7,5 mc_v = 4 m²/годU = 70%T_v = 0,403двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 60 L/s по трубе длиной 800 m с внутренним диаметром 300 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 60 L/sL = 800 mD = 300 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 300 m с внутренним диаметром 200 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Уровень воды в верхнем резервуаре на 8 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 8 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) имеет ширину по дну 2,5 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 2,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2,5 my = 2,3 mz = 3n = 0,012S = 0,003

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 600 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 1,2 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 70 m. КПД насоса 65%, а КПД приводящего его электродвигателя 90%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 20 L/sH = 70 mη_pump = 65%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 5 m выше. Труба длиной 600 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 72%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 20 L/sΔz = 5 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €20 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 4 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 8 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.

C₁ = €20 000g = 4%r = 8%

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €250 в конце каждого месяца в течение 17 лет. Счёт даёт 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2506% / 12N = 204

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €7 000, €8 000, €7 000, €5 000. Стоимость капитала — 7,000000000000001 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 8 000CF₃ = 7 000CF₄ = 5 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Инвестиция €10 000 приносит €2 500 в конце каждого года в течение 8 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €10 000CF = €2 500n = 8

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 164 и 192 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 164x₂ = 192

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 80% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов80%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 16,67 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·2 + 20·5

R_B = 140/6 = 23,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 23,33 = 16,67 kN

Ответ

R_A = 16,67 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 46 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 6·5 = 30 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5,5 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 65·1 + 30·5,5

R_B = 230/5 = 46 kN

R_A = 95 − 46 = 49 kN

Ответ

R_B = 46 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 28,13 kN (T), BC: 22,5 kN (T), CD: 22,5 kN (T), DE: 16,87 kN (T), FG: 28,12 kN (C), GH: 16,87 kN (C), AF: 46,88 kN (C), HE: 28,12 kN (C), BF: 2,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (T), BG: 9,375 kN (T), DG: 9,375 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 17,81 kN (T), BC: 19,37 kN (T), CD: 19,37 kN (T), DE: 20,94 kN (T), FG: 27,81 kN (C), GH: 30,94 kN (C), AF: 46,35 kN (C), HE: 34,9 kN (C), BF: 12,08 kN (T), CG: 0, DH: 2,083 kN (C), BG: 2,604 kN (C), DG: 2,604 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_A = −85 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −45·1 = −45 kN·m

w: −5·4²/2 = −40 kN·m

M_A = −45 − 40 = −85 kN·m

Ответ

M_A = −85 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 90 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·6 + 5·8·4

R_B = 400/8 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 50 = 30 kN

Рассеките в x = 6 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 30·6 − 5·6·3 = 90 kN·m

Ответ

M_x = 90 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 12,78 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 12,78 mm

Ответ

δ = 12,78 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_mid = 35,08 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 6000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб в середине пролёта

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 6000·1000·(3·5000² − 4·1000²)/(48·2,53 × 10¹¹) = 35,08 mm

Ответ

δ_mid = 35,08 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 315 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2100² = 314984 N = 315 kN

Ответ

P_cr = 315 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 6,94 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Ответ

σ_cr = 6,94 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 46,13 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

стенка: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·230 + 3960·110)/8360 = 173,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 220·20³/12 + 4400·(230 − 173,2)² = 1,436 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·220³/12 + 3960·(110 − 173,2)² = 3,177 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,436 × 10⁷ + 3,177 × 10⁷ = 4,613 × 10⁷ mm⁴ = 46,13 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 46,13 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 31,96 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (18000·75 − 1600·105)/(18000 − 1600) = 72,07 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·150³/12 + 18000·2,927² = 33,9 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

40·40³/12 + 1600·32,93² = 1,948 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 31,96 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 31,96 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 58,69 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 20,5·1 = 68,5 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 68,5 − 9,81 = 58,69 kPa

Ответ

σ′ = 58,69 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 44,15 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Ответ

u = 44,15 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 395,7 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 95 + 210 = 305 kPa > 165 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,05·6,5/(1 + 0,95)·log₁₀(165/95) + 0,4·6,5/(1 + 0,95)·log₁₀(305/165)

S = 39,96 + 355,8 = 395,7 mm

Ответ

S = 395,7 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 1,417 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 7,5/2 = 3,75 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·3,75²/4 = 1,417 годы

Ответ

t = 1,417 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 206 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Ответ

F = 206 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 71,64 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,75·1,5 = 71,64 kN

Ответ

F = 71,64 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 1,959 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,06/0,07069 = 0,8488 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(800/0,3)·0,8488²/(2·9,81) = 1,959 m

Ответ

h_f = 1,959 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 67,11 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·300/0,2 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

8 = (30 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·8/34,4) = 2,136 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 2,136·0,03142 = 0,06711 m³/s = 67,11 L/s

Ответ

Q = 67,11 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 115,6 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·2,3)·2,3 = 21,62 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,3·√(1 + 3²) = 17,05 m

R = A/P = 1,268 m

Скорость

V = (1/0,012)·1,268^2/3·0,003^1/2 = 5,348 m/s

Расход

Q = A·V = 21,62·5,348 = 115,6 m³/s

Ответ

Q = 115,6 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,003053 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,2823)² = 0,003053

Ответ

S = 0,003053

Это понижение на 3,053 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 23,48 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·70 = 13,73 kW

Мощность на валу

P_shaft = 13,73/0,65 = 21,13 kW

Электрическая мощность

P_el = 21,13/0,9 = 23,48 kW

Ответ

P_el = 23,48 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 2,786 kW

Скорость

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (72 + 8)·0,06529 = 5,223 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 5 + 5,223 = 10,22 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·10,22/0,72 = 2,786 kW

Ответ

P_shaft = 2,786 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 500000 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Растущая бессрочная рента

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0,08 − 0,04) = 20 000/0,04 = €500 000,00

Ответ

PV = €500 000,00

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 88308 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·17 = 204

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,766 − 1)/0,005 = €88 307,78

Ответ

FV = €88 307,78

Сами вы внесли €51 000; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 3058 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 7 000/1,07 = 6 542,06

CF₂/(1 + 0,07)² = 8 000/1,145 = 6 987,51

CF₃/(1 + 0,07)³ = 7 000/1,225 = 5 714,09

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 5 000/1,311 = 3 814,48

Сложите

NPV = €3 058,13

Ответ

NPV = €3 058,13

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 18,62 %

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 10 000/2 500 = 4

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 18%: 4,078

i = 19%: 3,954

IRR = 18,62%

Ответ

IRR = 18,62%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9545

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (164 − 178)/7 = −2

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−2) = 0,9772 − 0,02275 = 0,9545

Ответ

P = 0,9545

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 73,4 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,8

z из таблицы

z ≈ 0,84

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 0,84·10 = 73,4 баллов

Ответ

x = 73,4 баллов

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil