Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 4 mP₁ = 10 kN в 1 mP₂ = 25 kN в 2,5 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP = 20 kN в 3 mw = 10 kN/m от 1 до 4 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 50 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

F: 30 kN ↓H: 10 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 2,5 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1,5 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 15 kN в 2,5 mw = 5 kN/m от 0 до 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

50 kN @ 0 m40 kN @ 12 m35 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 20 kNa = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (алюминий)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 20 kNw = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 240 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 96 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 240 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 50 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmM = 50 kN·m

σ_низ = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 7,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15,5 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 5 m имеет C_c = 0,45, C_r = 0,02 и e₀ = 0,75. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 60 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 100 kPa. Новое здание добавляет 10 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 5 mC_c = 0,45C_r = 0,02e₀ = 0,75σ′₀ = 60 kPaσ′_p = 100 kPaΔσ = 10 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 10 m имеет коэффициент консолидации c_v = 2,5 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 90% фактор времени T_v = 0,848. За сколько лет t слой достигнет 90% консолидации?

H = 10 mc_v = 2,5 m²/годU = 90%T_v = 0,848двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 12 L/s по трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 12 L/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 200 m с внутренним диаметром 150 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,02) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 5). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (чистый грунт) имеет ширину 5 m. Вода течёт равномерно с глубиной 2,1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5 my = 2,1 mn = 0,022S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) с шириной по дну 3,5 m и заложением откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 8,5 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 8,5 m³/sb = 3,5 my = 1,3 mz = 1n = 0,015

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 44 m, а мощность на его валу 36 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 60 L/sH = 44 mP_shaft = 36 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 100 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 18 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 350 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 100 L/sΔz = 18 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8p_tank = 350 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €1 000 под 8 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 9 лет.

PV = €1 000r = 8%t = 9

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €50 в конце каждого месяца в течение 24 лет. Счёт даёт 2,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €502,4% / 12N = 288

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €45 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €17 000, €22 000, €10 000, €13 000. Стоимость капитала — 15 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 15%CF₀ = −45 000CF₁ = 17 000CF₂ = 22 000CF₃ = 10 000CF₄ = 13 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €17 000, €16 500, €16 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 000CF₂ = 16 500CF₃ = 16 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 120 mm и стандартным отклонением 0,3 mm; Y независима и нормальна со средним 80 mm и стандартным отклонением 0,4 mm. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 200,6 mm. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,6 mm

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 18,13 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1 + 25·2,5

R_B = 72,5/4 = 18,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 18,13 = 16,88 kN

Ответ

R_B = 18,13 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 23 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·3 + 10·3·2,5

R_B = 135/5 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 27 = 23 kN

Ответ

R_A = 23 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −39,53 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·1 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 12,5 = 37,5 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −37,5/0,9487 = −39,53 kN

Ответ

F_AB = −39,53 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 9,375 kN (T), BC: 6,25 kN (T), CD: 6,25 kN (T), DE: 3,125 kN (T), FG: 19,38 kN (C), GH: 13,13 kN (C), AF: 32,29 kN (C), HE: 5,208 kN (C), BF: 4,167 kN (C), CG: 0, DH: 4,167 kN (T), BG: 5,208 kN (T), DG: 5,208 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −45,63 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −15·1 = −15 kN·m

w: −5·3,5²/2 = −30,63 kN·m

M_x = −15 − 30,63 = −45,63 kN·m

Ответ

M_x = −45,63 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 63,33 kN, R₂ = 61,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −100, M_C = −73,33, M_D = −116,7, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −160 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 35,2 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 20000 N, a = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 4,141 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,006211 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 35,2 mm

Ответ

δ_B = 35,2 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 13,15 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 20000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·1500³/(48·1,32 × 10¹¹) = 10,65 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·1500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 2,497 mm

Сложите

δ_max = 10,65 + 2,497 = 13,15 mm

Ответ

δ_max = 13,15 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 151,4 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151,4 kN

Ответ

P_cr = 151,4 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 62,66 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/10 = 105

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62,66 MPa

Ответ

σ_cr = 62,66 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 171,3 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (36000·120 − 1963·96)/(36000 − 1963) = 121,4 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·240³/12 + 36000·−1,385² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−25,38² = 1,572 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 171,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 171,3 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 307,3 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

стенка: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·265 + 2080·130)/5080 = 209,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·10³/12 + 3000·(265 − 209,7)² = 9,191 × 10⁶ mm⁴

стенка: 8·260³/12 + 2080·(130 − 209,7)² = 2,494 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,191 × 10⁶ + 2,494 × 10⁷ = 3,413 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 209,7 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·209,7/3,413 × 10⁷ = 307,3 MPa

Ответ

σ_низ = 307,3 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 99 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·1 + 20,5·4 = 99 kPa

Ответ

σ = 99 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 75,29 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15,5·2 + 18,5·2 + 17,5·3,5 = 129,3 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 129,3 − 53,96 = 75,29 kPa

Ответ

σ′ = 75,29 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 3,826 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 60 + 10 = 70 kPa ≤ 100 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·5/(1 + 0,75)·log₁₀(70/60) = 3,826 mm

Ответ

S = 3,826 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 8,48 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 10/2 = 5 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·5²/2,5 = 8,48 годы

Ответ

t = 8,48 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 39,24 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN

Ответ

F = 39,24 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 4,083 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·2 = 78,48 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 0,6667/(4·2) = 4,083 m

Ответ

y_cp = 4,083 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 8,924 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(500/0,1)·1,528²/(2·9,81) = 8,924 m

Ответ

h_f = 8,924 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 13,9 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·200/0,15 = 26,67

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 26,67 + 6,4)·0,408 = 13,9 m

Ответ

H = 13,9 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 14,74 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 5·2,1 = 10,5 m²

P = b + 2y = 5 + 2·2,1 = 9,2 m

R = A/P = 1,141 m

Скорость

V = (1/0,022)·1,141^2/3·0,0008^1/2 = 1,404 m/s

Расход

Q = A·V = 10,5·1,404 = 14,74 m³/s

Ответ

Q = 14,74 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0005031 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1·1,3)·1,3 = 6,24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,3·√(1 + 1²) = 7,177 m

R = A/P = 0,8694 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·8,5/(6,24·0,911) = 0,02243

S = 0,02243² = 0,0005031

Ответ

S = 0,0005031

Это понижение на 0,5031 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 71,94 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·44 = 25,9 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 25,9/36 = 71,94%

Ответ

η = 71,94%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 57,49 m

Скорость

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 8)·0,2115 = 3,807 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 18 + 35,68 + 3,807 = 57,49 m

Ответ

H = 57,49 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 2054 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,08·9 = 0,72

e^0,72 = 2,054

Будущая стоимость

FV = 1 000·2,054 = €2 054,43

Ответ

FV = €2 054,43

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 19447 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·24 = 288

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1,778 − 1)/0,002 = €19 447,14

Ответ

FV = €19 447,14

Сами вы внесли €14 400; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 425,7 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 17 000/1,15 = 14 782,61

CF₂/(1 + 0,15)² = 22 000/1,322 = 16 635,16

CF₃/(1 + 0,15)³ = 10 000/1,521 = 6 575,16

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 13 000/1,749 = 7 432,79

Сложите

NPV = €425,72

Ответ

NPV = €425,72

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 44,4 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(40%) = 1 392,13

NPV(45%) = −179,79

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 40 + 5·1 392,13/(1 392,13 − (−179,79)) = 44,43%

точно: NPV(44,4%) = 0 → IRR = 44,4%

Ответ

IRR = 44,4%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1151

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Стандартизуйте

z = (200,6 − 200)/0,5 = 1,2

Верхний хвост

P = 1 − Φ(1,2) = 1 − 0,8849 = 0,1151

Ответ

P = 0,1151

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Распределение разности

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Вероятность

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil