Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP₁ = 10 kN в 1 mP₂ = 35 kN в 1,5 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой интенсивностью 4 kN/m у стены, убывающей до нуля на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 4 mw₀ = 4 kN/mP = 65 kN в 1,5 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 7 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN

F_BC = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 15 kN ↓D: 40 kN ↓F: 15 kN →

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 12 kN/m от 0 до 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 60 kN в 3,5 mw = 4 kN/m от 0 до 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюминий)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 16 kNw = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 145 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 145 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 120 mm × 240 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 72 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 240 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 140 × 22 mm, стенку высотой 320 mm и толщиной 12 mm и нижнюю полку 260 × 14 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 140 × 22 mmстенка: 12 × 320 mmнижняя полка: 260 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 6,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 6 m имеет C_c = 0,45, C_r = 0,03 и e₀ = 0,6. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 80 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 130 kPa. Новое здание добавляет 160 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 6 mC_c = 0,45C_r = 0,03e₀ = 0,6σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 130 kPaΔσ = 160 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

В лабораторном компрессионном испытании образец глины толщиной 20 mm с дренированием сверху и снизу достигает 50% консолидации за 6 min. В природе та же глина образует слой толщиной 9 m. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. За сколько суток t природный слой достигнет 50% консолидации?

h_lab = 20 mmt_lab = 6 minH = 9 mв природе: двусторонний дренаж

t = сут

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 2 m/s по трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 2 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 300 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,018. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (необработанный бетон) имеет ширину 2,5 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2,5 my = 1 mn = 0,014S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (гравий) шириной 4,5 m должен пропускать 4,6 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,6 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 4,6 m³/sb = 4,5 my = 0,6 mn = 0,025

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 24 m, а мощность на его валу 16,4 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 50 L/sH = 24 mP_shaft = 16,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 10 m выше. Труба длиной 500 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 60 L/sΔz = 10 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 19,5 % годовых с ежедневно капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 19,5%m = 365

EAR = %

26.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 30 лет под 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 16? Найдите остаток долга B.

P = €250 0003,6% / 12N = 360k = 192

B = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €16 000, €14 000, €18 000. Стоимость капитала — 5 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 16 000CF₂ = 14 000CF₃ = 18 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €150 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €21 500 и растёт на 5 % в год до последнего денежного потока в конце года 7. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €21 500g = 5%n = 7r = 12%

NPV = €

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 436 и 574 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 436x₂ = 574

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,03 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 12,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1 + 35·1,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 12,5 = 32,5 kN

Ответ

R_B = 12,5 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 108,2 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·4·4 = 8 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 8·1,333 + 65·1,5 = 108,2 kN·m

Ответ

M_A = 108,2 kN·m

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −31,57 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·7 → C_y = 30,63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 30,63 = 4,375 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30,63/0,9701 = −31,57 kN

Ответ

F_BC = −31,57 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 39,58 kN (T), BC: 44,17 kN (T), CD: 44,17 kN (T), DE: 48,75 kN (T), FG: 39,58 kN (C), GH: 48,75 kN (C), AF: 30,73 kN (C), HE: 60,94 kN (C), BF: 18,44 kN (T), CG: 0, DH: 36,56 kN (T), BG: 5,729 kN (C), DG: 5,729 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 24 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 30·1 − 12·1·0,5 = 24 kN·m

Ответ

M_x = 24 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 23 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·3,5 + 4·6·3

R_B = 282/6 = 47 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 47 = 37 kN

Рассеките в x = 5,5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 37·5,5 − 60·(5,5 − 3,5) − 4·5,5·2,75 = 23 kN·m

Ответ

M_x = 23 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 26,73 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 26,73 mm

Ответ

δ_max = 26,73 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 8,667 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 16000 N, w = 2 N/mm, L = 8000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 16000·8000³/(48·3,2 × 10¹³) = 5,333 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 3,333 mm

Сложите

δ_max = 5,333 + 3,333 = 8,667 mm

Ответ

δ_max = 8,667 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 53,97 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1000 = 1000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1000² = 53974 N = 53,97 kN

Ответ

P_cr = 53,97 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 56,38 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 56,38 mm

Ответ

d = 56,38 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 106,4, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (28800·120 − 1963·72)/(28800 − 1963) = 123,5 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·240³/12 + 28800·−3,512² = 138,6 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−51,51² = 5,517 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 223,9 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 3080 mm², y = 345 mm

стенка: A = 3840 mm², y = 174 mm

нижняя полка: A = 3640 mm², y = 7 mm

Центр тяжести

ȳ = (3080·345 + 3840·174 + 3640·7)/10560 = 166,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 140·22³/12 + 3080·178,7² = 9,847 × 10⁷ mm⁴

стенка: 12·320³/12 + 3840·7,689² = 3,3 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 260·14³/12 + 3640·159,3² = 9,244 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,847 × 10⁷ + 3,3 × 10⁷ + 9,244 × 10⁷

I_x = 2,239 × 10⁸ mm⁴ = 223,9 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 223,9 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 19,62 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Ответ

u = 19,62 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 122,5 kPa

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2,5

σ = 16,5·1 + 19,5·3 + 19·2,5 = 122,5 kPa

Ответ

σ = 122,5 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 473 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 80 + 160 = 240 kPa > 130 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,03·6/(1 + 0,6)·log₁₀(130/80) + 0,45·6/(1 + 0,6)·log₁₀(240/130)

S = 23,72 + 449,3 = 473 mm

Ответ

S = 473 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 843,8 сут

Пути фильтрации

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 9/2 = 4,5 m

Пересчитайте время

t = T_v·H_dr²/c_v с одинаковыми T_v и c_v в лаборатории и в природе.

t_field = 6·(4,5/0,01)² = 1,215 × 10⁶ min

t_field = 1,215 × 10⁶/1440 = 843,8 сут

Ответ

t = 843,8 сут

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 143,5 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·4,5 = 143,5 kN

Ответ

F = 143,5 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 170 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,25·3,75 = 170 kN

Ответ

F = 170 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 20,39 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 2²/(2·9,81) = 0,2039 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,1)·2²/(2·9,81) = 20,39 m

Ответ

h_f = 20,39 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 10,45 m

Скорость

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·300/0,25 = 21,6

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Полная потеря напора

h_f = 21,6·0,3046 = 6,579 m

h_m = 12,7·0,3046 = 3,868 m

Δz = h_f + h_m = 10,45 m

Ответ

Δz = 10,45 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 3,413 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 2,5·1 = 2,5 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1 = 4,5 m

R = A/P = 0,5556 m

Скорость

V = (1/0,014)·0,5556^2/3·0,0008^1/2 = 1,365 m/s

Расход

Q = A·V = 2,5·1,365 = 3,413 m³/s

Ответ

Q = 3,413 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,004913 m/m

Геометрия

A = b·y = 4,5·0,6 = 2,7 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·0,6 = 5,7 m

R = A/P = 0,4737 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·4,6/(2,7·0,6077) = 0,07009

S = 0,07009² = 0,004913

Ответ

S = 0,004913

Это понижение на 4,913 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 71,78 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·24 = 11,77 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 11,77/16,4 = 71,78%

Ответ

η = 71,78%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 23,11 m

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (62,5 + 8)·0,1859 = 13,11 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 10 + 13,11 = 23,11 m

Ответ

H = 23,11 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 21,52 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,195/365 = 0,0005342

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,0005342)³⁶⁵ − 1 = 1,215 − 1 = 21,52%

Ответ

EAR = 21,52%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

26.Временная стоимость денег

Ответ: B = 149819 €

Ежемесячный платёж

i = 0,003, N = 360

A = 250 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁶⁰) = €1 136,61

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 360 − 192 = 168

B = 1137·(1 − (1 + 0,003)⁻¹⁶⁸)/0,003 = €149 818,77

Ответ

B = €149 818,77

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −16514 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 16 000/1,05 = 15 238,10

CF₂/(1 + 0,05)² = 14 000/1,103 = 12 698,41

CF₃/(1 + 0,05)³ = 18 000/1,158 = 15 549,08

Сложите

NPV = €−16 514,42

Ответ

NPV = €−16 514,42

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: NPV = −38354 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,05)/(1,12))⁷ = 0,6365

PV = 21 500/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,6365) = 111 646,19

NPV

NPV = 111 646,19 − 150 000 = −€38 353,81

Ответ

NPV = −€38 353,81

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,913

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (436 − 500)/40 = −1,6

z₂ = (574 − 500)/40 = 1,85

Площадь между

P = Φ(1,85) − Φ(−1,6) = 0,9678 − 0,0548 = 0,913

Ответ

P = 0,913

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9515

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Ответ

P = 0,9515

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil