Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w от стены до 2,5 m и сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 5 mP = 50 kN в 1,5 mw = 12 kN/m от 0 до 2,5 m

M_A = kN·m

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 8 mP = 60 kN в 6 mw = 8 kN/m от 4 до 6 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kN

F_BC = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 60 kNгоризонтальная нагрузка = 5 kN ←

F_AC = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P₁ между опорами и сосредоточенной силой P₂ в C. Найдите изгибающий момент M_x под силой P₁. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP₁ = 30 kN в 5 mP₂ = 35 kN в 10 mопоры при x = 0 и x = 8 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 12 m55 kN @ 2 m4 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 3 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 4 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 150 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 150 mm

h_req = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 100 mm, наружную высоту H = 300 mm и одинаковую толщину стенок t = 12 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 100 mmH = 300 mmt = 12 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 120 mm × 150 mm имеет прямоугольный вырез шириной 30 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 97,5 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 150 mmвырез: 30 × 20 mmцентр отверстия: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 5,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 7 m имеет C_c = 0,2, C_r = 0,06 и e₀ = 0,6. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 70 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 2. Новое здание добавляет 190 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 7 mC_c = 0,2C_r = 0,06e₀ = 0,6σ′₀ = 70 kPaOCR = 2Δσ = 190 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 3,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 3 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 50% фактор времени T_v = 0,197. За сколько лет t слой достигнет 50% консолидации?

H = 3,5 mc_v = 3 m²/годU = 50%T_v = 0,197двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,4 m/s по горизонтальной трубе длиной 200 m с внутренним диаметром 50 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,4 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 100 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Уровень воды в верхнем резервуаре на 23 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 23 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (гравий) имеет ширину по дну 5 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 2,4 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5 my = 2,4 mz = 2n = 0,025S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) с шириной по дну 1,5 m и заложением откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 1,8 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,6 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 1,8 m³/sb = 1,5 my = 0,6 mz = 2n = 0,015

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 75% подаёт 15 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 16 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 15 L/sH = 16 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 5 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 150 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 20 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 5p_tank = 150 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €12 000 под номинальную ставку 3,6 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 4 лет.

PV = €12 0003,6% / 4n = 4

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €15 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 7 лет под 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €15 0003,6% / 12N = 84

I = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €22 000, €22 000, €15 000. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 000CF₂ = 22 000CF₃ = 15 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект A стоит €40 000 и приносит €22 500, €15 500, €8 500 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €42 000 и приносит €11 000, €16 500, €22 000. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.

A: −40 000, 22 500, 15 500, 8 500B: −42 000, 11 000, 16 500, 22 000

r* = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8789. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8789

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 70% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g70%

x = g

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 112,5 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 12·2,5 = 30 kN, x̄ = 1,25 m

Момент относительно стены

M_A = P·a + W·x̄ = 50·1,5 + 30·1,25 = 112,5 kN·m

Ответ

M_A = 112,5 kN·m

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 55 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·6 + 8·2·5

R_B = 440/8 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 76 − 55 = 21 kN

Ответ

R_B = 55 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −4,859 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·1 → C_y = 2,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 2,5 = 12,5 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2,5/0,5145 = −4,859 kN

Ответ

F_BC = −4,859 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 18,75 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·2 − 5·4 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 12,5 = 47,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Узел C

sin γ = 4/7,211 = 0,5547, cos γ = 6/7,211 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12,5/0,5547 = −22,53 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22,53)·0,8321 = 18,75 kN

Ответ

F_AC = 18,75 kN (растяжение)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 12,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·5 + 35·10

R_B = 500/8 = 62,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 62,5 = 2,5 kN

Сечение под P₁, оставляем левую часть

M_x = R_A·5 = 2,5·5 = 12,5 kN·m

Ответ

M_x = 12,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 55 kN, R₂ = 85 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 102 kN·m, M_C = 78, M_D = 38, M_E = −18, M_F = −90, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = 102 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 21,43 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 4000 N, a = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 14,29 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,007143 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 21,43 mm

Ответ

δ_B = 21,43 mm

8.Прогиб балки

Ответ: h_req = 257,4 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·13,89) = 2,131 × 10⁸ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·2,131 × 10⁸/150)^1/3 = 257,4 mm

Ответ

h_req = 257,4 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 17,27 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·5000 = 5000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/5000² = 17272 N = 17,27 kN

Ответ

P_cr = 17,27 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 69,09 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Ответ

σ_cr = 69,09 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 100,9 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 76 mm, h = 276 mm

A = BH − bh = 100·300 − 76·276 = 9024 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 9,184 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(9,184 × 10⁷/9024) = 100,9 mm

Ответ

r = 100,9 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 33,42 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (18000·75 − 600·97,5)/(18000 − 600) = 74,22 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·150³/12 + 18000·0,7759² = 33,76 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

30·20³/12 + 600·23,28² = 0,3451 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 33,42 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 33,42 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 68,38 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 20·2 = 88 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 88 − 19,62 = 68,38 kPa

Ответ

σ′ = 68,38 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 57,35 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2,5

σ = 17·1 + 18,5·2 + 19·2,5 = 101,5 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 101,5 − 44,15 = 57,35 kPa

Ответ

σ′ = 57,35 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 314,3 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·70 = 140 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 70 + 190 = 260 kPa > 140 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,06·7/(1 + 0,6)·log₁₀(140/70) + 0,2·7/(1 + 0,6)·log₁₀(260/140)

S = 79,02 + 235,2 = 314,3 mm

Ответ

S = 314,3 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 0,2011 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 3,5/2 = 1,75 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·1,75²/3 = 0,2011 годы

Ответ

t = 0,2011 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 55,18 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·4,5 = 55,18 kN

Ответ

F = 55,18 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 150,8 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,5·6 = 150,8 kN

Ответ

F = 150,8 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 78,4 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(200/0,05)·1,4²/(2·9,81) = 7,992 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·7,992 = 78400 Pa = 78,4 kPa

Ответ

Δp = 78,4 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 38,18 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·100/0,1 = 15

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

23 = (15 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·23/19,1) = 4,861 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 4,861·0,007854 = 0,03818 m³/s = 38,18 L/s

Ответ

Q = 38,18 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 34,79 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5 + 2·2,4)·2,4 = 23,52 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2,4·√(1 + 2²) = 15,73 m

R = A/P = 1,495 m

Скорость

V = (1/0,025)·1,495^2/3·0,0008^1/2 = 1,479 m/s

Расход

Q = A·V = 23,52·1,479 = 34,79 m³/s

Ответ

Q = 34,79 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0009841 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 2·0,6)·0,6 = 1,62 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·0,6·√(1 + 2²) = 4,183 m

R = A/P = 0,3873 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·1,8/(1,62·0,5313) = 0,03137

S = 0,03137² = 0,0009841

Ответ

S = 0,0009841

Это понижение на 0,9841 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 3,139 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·16 = 2,354 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 2,354/0,75 = 3,139 kW

Ответ

P_shaft = 3,139 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 39,79 m

Скорость

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 5)·0,3305 = 19,5 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 15,29 + 19,5 = 39,79 m

Ответ

H = 39,79 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 13850 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·4 = 16

Будущая стоимость

FV = 12 000·(1 + 0,009)¹⁶ = 12 000·1,154 = €13 849,69

Ответ

FV = €13 849,69

26.Временная стоимость денег

Ответ: I = 1992 €

Ежемесячный платёж

i = 0,003, N = 84

A = 15 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻⁸⁴) = €202,28

Всего процентов

I = N·A − P = 84·202,3 − 15 000 = €1 991,67

Ответ

I = €1 991,67

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −9717 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 22 000/1,09 = 20 183,49

CF₂/(1 + 0,09)² = 22 000/1,188 = 18 516,96

CF₃/(1 + 0,09)³ = 15 000/1,295 = 11 582,75

Сложите

NPV = €−9 716,80

Ответ

NPV = €−9 716,80

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: r* = 3,495 %

Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.

Разность денежных потоков

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 11 000 − 22 500 = −11 500

ΔCF₂ = 16 500 − 15 500 = 1 000

ΔCF₃ = 22 000 − 8 500 = 13 500

IRR разности

NPV_Δ(3%) = 131,96

NPV_Δ(4%) = −131,69

r* = 3,495%

Ответ

r* = 3,495%

Проверка: при 3,495% обе NPV равны €3 878,77.

29.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,55

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8789)/2 = 0,9394

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9394 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,55

Ответ

z = 1,55

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 247,4 g

Площадь слева

Φ(z) = 0,3

z из таблицы

z ≈ −0,52

Возврат к исходным единицам

x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g

Ответ

x = 247,4 g

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Метод

Ферма: метод вырезания узлов

Метод

Поперечная сила и изгибающий момент

Метод

Прогиб балки

Устойчивость колонн

Центр тяжести и момент инерции

Эффективное напряжение в грунте

Консолидационная осадка

Гидростатическое давление

Трение в трубах и потери напора

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Насосы и мощность насоса

Временная стоимость денег

Метод

NPV и IRR

Метод

Нормальное распределение

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Равнодействующая распределённой нагрузки

Момент относительно стены

Ответ

Расчётная схема

Равновесие

Ответ

Опорные реакции

Узел C

Ответ

Опорные реакции

Узел C

Ответ

Опорные реакции

Сечение под P1, оставляем левую часть

Ответ

Опорные реакции

Изгибающий момент в каждой отметке

Ответ

Согласованные единицы

Прогиб свободного конца

Ответ

Согласованные единицы

Ограничение прогиба

Требуемый момент инерции

Требуемая высота

Ответ

Наименьший момент инерции

Расчётная длина

Критическая сила

Ответ

Наименьший момент инерции

Радиус инерции и гибкость

Критическое напряжение

Ответ

Площадь и момент инерции нетто

Радиус инерции

Ответ

Центр тяжести

Целая пластина относительно ȳ

Отверстие относительно ȳ

Вычтите

Ответ

Полное напряжение

Поровое давление

Эффективное напряжение

Ответ

Полное напряжение

Поровое давление

Эффективное напряжение

Ответ

Давление предварительного уплотнения

Сравните с давлением предварительного уплотнения

Осадка

Ответ

Путь фильтрации

Сечение под P₁, оставляем левую часть