Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 6 mP₁ = 50 kN в 1 mP₂ = 10 kN в 3 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой интенсивностью 4 kN/m у стены, убывающей до нуля на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 9 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 10 mw₀ = 4 kN/mP = 80 kN в 9 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

C: 30 kN ↓D: 25 kN ↓F: 40 kN ↓G: 15 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 20 kN →

F_AB = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mP₁ = 40 kN в 1 mP₂ = 75 kN в 7 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

20 kN @ 6 m50 kN @ 3 m6 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 14 kNw = 4 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 260 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 70 mm. Толщина основания и полок 16 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 260 mmh = 70 mmt = 16 mm

ȳ = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 35 MPa при растяжении и 120 MPa при сжатии. Найдите наибольший отрицательный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка (укажите его величину).

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 9 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 6 m имеет C_c = 0,5, C_r = 0,02 и e₀ = 0,65. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 60 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 150 kPa. Новое здание добавляет 45 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 6 mC_c = 0,5C_r = 0,02e₀ = 0,65σ′₀ = 60 kPaσ′_p = 150 kPaΔσ = 45 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 3 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 90% фактор времени T_v = 0,848. За сколько лет t слой достигнет 90% консолидации?

H = 5 mc_v = 3 m²/годU = 90%T_v = 0,848односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,5 m/s по горизонтальной трубе длиной 200 m с внутренним диаметром 300 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,5 m/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 150 m с внутренним диаметром 300 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,022) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 5). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 450 mm заполнен ровно полностью (течёт как открытое русло, не под напором). Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,0015. Найдите расход Q в m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,0015

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) с шириной по дну 1 m и заложением откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 16 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 16 m³/sb = 1 my = 1,2 mz = 2n = 0,012

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 25 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 38 m, а мощность на его валу 14,3 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 25 L/sH = 38 mP_shaft = 14,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 35 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 72%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 80 L/sΔz = 35 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €5 000 под номинальную ставку 3 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 4 лет.

PV = €5 0003% / 4n = 4

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 6 лет. Ставка — 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €25 0004,2% / 12N = 72

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €11 000, €13 000, €10 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 13 000CF₃ = 10 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €3 000, €4 500, €5 500, €6 000 в конце годов с 1-го по 4-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 6 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 3 000CF₂ = 4 500CF₃ = 5 500CF₄ = 6 000

MIRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 4 из них меньше 364 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4< 364 kg

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 25% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов25%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 13,33 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·1 + 10·3

R_B = 80/6 = 13,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 13,33 = 46,67 kN

Ответ

R_B = 13,33 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 786,7 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·4·10 = 20 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 20·3,333 + 80·9 = 786,7 kN·m

Ответ

M_A = 786,7 kN·m

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 44,06 kN (T), BC: 44,06 kN (T), CD: 38,44 kN (T), DE: 38,44 kN (T), FG: 58,12 kN (C), GH: 58,12 kN (C), AF: 73,44 kN (C), HE: 64,06 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 23,44 kN (T), HC: 32,81 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −12,3 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·2 + 20·4 → C_y = 34 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 34 = 11 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −11/0,8944 = −12,3 kN

Ответ

F_AB = −12,3 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 70,63 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·1 + 75·7

R_B = 565/8 = 70,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 70,63 = 44,38 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·1 = 44,38·1 = 44,38 kN·m

под P₂: M = R_B·1 = 70,63·1 = 70,63 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 70,63 kN·m (под P₂)

Ответ

M_max = 70,63 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 14,5 kN, R₂ = 79,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 11,5, M_C = 17, M_D = 16,5, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −40 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 30,72 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 14000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 14000·1500³/(3·5,95 × 10¹¹) = 26,47 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·5,95 × 10¹¹) = 4,254 mm

Сложите

δ = 26,47 + 4,254 = 30,72 mm

Ответ

δ = 30,72 mm

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 17,14 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·70000·11,11) = 1,714 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17,14 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 17,14 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 50,36 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/1750² = 50355 N = 50,36 kN

Ответ

P_cr = 50,36 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 38,86 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Ответ

σ_cr = 38,86 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 18,27 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 260·16 = 4160 mm², y₁ = 8 mm

две полки: A₂ = 2·16·54 = 1728 mm², y₂ = 16 + 54/2 = 43 mm

Центр тяжести

ȳ = (4160·8 + 1728·43)/5888 = 18,27 mm

Ответ

ȳ = 18,27 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 15,09 kN·m

Центр тяжести

ȳ = (2500·232,5 + 3520·110)/6020 = 160,9 mm

верхняя кромка: c = 245 − 160,9 = 84,13 mm

Момент инерции сечения

I = 100·25³/12 + 2500·71,63² + 16·220³/12 + 3520·50,87² = 3,626 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Отрицательный момент: верх растянут, низ сжат.

верхняя кромка: M = 35·3,626 × 10⁷/84,13 = 15,09 kN·m

нижняя кромка: M = 120·3,626 × 10⁷/160,9 = 27,05 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 15,09 kN·m (верхняя кромка)

Ответ

M_allow = 15,09 kN·m

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 90,14 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·2 + 19,5·6 = 149 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 149 − 58,86 = 90,14 kPa

Ответ

σ′ = 90,14 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 95,33 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·4

σ = 16,5·2 + 19·3 + 18,5·4 = 164 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 164 − 68,67 = 95,33 kPa

Ответ

σ′ = 95,33 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 17,68 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 60 + 45 = 105 kPa ≤ 150 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·6/(1 + 0,65)·log₁₀(105/60) = 17,68 mm

Ответ

S = 17,68 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 7,067 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 5 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·5²/3 = 7,067 годы

Ответ

t = 7,067 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 119,6 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·3,75 = 119,6 kN

Ответ

F = 119,6 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 4,667 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,5·6 = 233,1 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 4,5/(4,5·6) = 4,667 m

Ответ

y_cp = 4,667 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 13,5 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,3)·1,5²/(2·9,81) = 1,376 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,376 = 13500 Pa = 13,5 kPa

Ответ

Δp = 13,5 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 7,508 m

Скорость

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·150/0,3 = 11

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 11 + 6,4)·0,408 = 7,508 m

Ответ

H = 7,508 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,1104 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,159 m², R = D/4 = 0,1125 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,0015^1/2 = 0,6943 m/s

Расход

Q = A·V = 0,159·0,6943 = 0,1104 m³/s

Ответ

Q = 0,1104 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,004008 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (1 + 2·1,2)·1,2 = 4,08 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,2·√(1 + 2²) = 6,367 m

R = A/P = 0,6408 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·16/(4,08·0,7433) = 0,06331

S = 0,06331² = 0,004008

Ответ

S = 0,004008

Это понижение на 4,008 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 65,17 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·38 = 9,319 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 9,319/14,3 = 65,17%

Ответ

η = 65,17%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 49,14 kW

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 8)·0,3305 = 10,08 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 35 + 10,08 = 45,08 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·45,08/0,72 = 49,14 kW

Ответ

P_shaft = 49,14 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 5635 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·4 = 16

Будущая стоимость

FV = 5 000·(1 + 0,0075)¹⁶ = 5 000·1,127 = €5 634,96

Ответ

FV = €5 634,96

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 393,4 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·6 = 72

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,7776

A = 25 000·0,0035/(1 − 0,7776) = €393,41

Ответ

A = €393,41

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −1743 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 11 000/1,1 = 10 000,00

CF₂/(1 + 0,1)² = 13 000/1,21 = 10 743,80

CF₃/(1 + 0,1)³ = 10 000/1,331 = 7 513,15

Сложите

NPV = €−1 743,05

Ответ

NPV = €−1 743,05

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 19,6 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

3 000·1,06³ = 3 573,05

4 500·1,06² = 5 056,20

5 500·1,06¹ = 5 830,00

6 000·1,06⁰ = 6 000,00

TV = 20 459,25

MIRR

MIRR = (20 459,25/10 000)^1/4 − 1 = 19,6%

Ответ

MIRR = 19,6%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 340 kg, σ_T = 12·√4 = 24 kg

Стандартизуйте

z = (364 − 340)/24 = 1

Вероятность

P = Φ(1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 71,7 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,75

z из таблицы

z ≈ 0,67

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 0,67·10 = 71,7 баллов

Ответ

x = 71,7 баллов

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil