Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным против часовой стрелки, на расстоянии 2 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 4 mP = 70 kN в 1,5 mM = 40 kN·m (против часовой стрелки) в 2 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 1 m от A действует сила P, наклонённая под углом 50° к горизонтали, а на расстоянии 5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции R_A в шарнире A.

L = 8 mP = 70 kN в 1 m, θ = 50°Q = 25 kN в 5 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 40 kN ↓C: 20 kN ↓F: 35 kN ↓G: 10 kN ↓H: 15 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 10 kN/m от 0 до 5 mx = 1,5 m

V_x = kN

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mw = 10 kN/m от 3 до 5 m

M_max = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 22 kNw = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 60 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 60 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mmцентр отверстия: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 50 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mmM = 50 kN·m

σ_низ = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 10 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15,5 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 3,5 m имеет C_c = 0,4, C_r = 0,06 и e₀ = 0,95. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 95 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 125 kPa. Новое здание добавляет 100 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 3,5 mC_c = 0,4C_r = 0,06e₀ = 0,95σ′₀ = 95 kPaσ′_p = 125 kPaΔσ = 100 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 3,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 2 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 70% фактор времени T_v = 0,403. За сколько лет t слой достигнет 70% консолидации?

H = 3,5 mc_v = 2 m²/годU = 70%T_v = 0,403односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,2 m/s по горизонтальной трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,2 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 200 m с внутренним диаметром 150 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,022) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 5). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 30 L/s?

Q = 30 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) имеет ширину по дну 5,5 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 2,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015, уклон дна S = 0,004. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5,5 my = 2,5 mz = 2n = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 600 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 0,6 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 85% подаёт 15 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 52 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 15 L/sH = 52 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 26 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 250 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 80 L/sΔz = 26 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 5p_tank = 250 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €2 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 1 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 7 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.

C₁ = €2 000g = 1%r = 7%

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €250 в конце каждого месяца в течение 17 лет. Счёт даёт 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2504,2% / 12N = 204

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €10 000, €12 000, €7 000, €8 000. Стоимость капитала — 15 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 15%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 12 000CF₃ = 7 000CF₄ = 8 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €3 500, €4 500, €6 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 3 500CF₂ = 4 500CF₃ = 6 500

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 92,5 и 103,75 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 92,5x₂ = 103,75

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 16,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 70·1,5 + 40 = 0

R_B = 65/4 = 16,25 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 70 − 16,25 = 53,75 kN

Ответ

R_B = 16,25 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 72,07 kN

Составляющие P

P_v = 70·sin 50° = 53,62 kN

P_h = 70·cos 50° = 45 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·8 = 53,62·1 + 25·5 → R_B = 22,33 kN

A_y = 53,62 + 25 − 22,33 = 56,3 kN

A_x = P_h = 45 kN

Равнодействующая реакция в A

R_A = √(45² + 56,3²) = 72,07 kN

Ответ

R_A = 72,07 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −25,51 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·5 → C_y = 21,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 21,88 = 13,13 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/5,831 = 0,5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13,13/0,5145 = −25,51 kN

Ответ

F_AB = −25,51 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 42,19 kN (T), BC: 42,19 kN (T), CD: 21,56 kN (T), DE: 21,56 kN (T), FG: 58,13 kN (C), GH: 58,13 kN (C), AF: 95,31 kN (C), HE: 35,94 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 1,563 kN (T), HC: 35,94 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = 10 kN

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 25 − 10·1,5 = 10 kN

Ответ

V_x = 10 kN

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 22,22 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2·4

R_B = 80/6 = 13,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 13,33 = 6,667 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 6,667/10 = 3,667 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 6,667·3,667 − 10·0,6667²/2 = 22,22 kN·m

Ответ

M_max = 22,22 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 1,02 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 1,02 mm

Ответ

δ_max = 1,02 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 10,68 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 22000 N, w = 15 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 22000·5000³/(48·1,68 × 10¹³) = 3,41 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 7,266 mm

Сложите

δ_max = 3,41 + 7,266 = 10,68 mm

Ответ

δ_max = 10,68 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 78,75 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4200² = 78746 N = 78,75 kN

Ответ

P_cr = 78,75 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 38,86 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Ответ

σ_cr = 38,86 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 40,82 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (22500·75 − 2827·60)/(22500 − 2827) = 77,16 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·150³/12 + 22500·−2,156² = 42,29 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−17,16² = 1,468 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 40,82 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 40,82 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 276,1 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

стенка: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·172,5 + 3200·80)/10200 = 143,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·25³/12 + 7000·(172,5 − 143,5)² = 6,26 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·160³/12 + 3200·(80 − 143,5)² = 1,972 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,26 × 10⁶ + 1,972 × 10⁷ = 2,598 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 143,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·143,5/2,598 × 10⁷ = 276,1 MPa

Ответ

σ_низ = 276,1 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 39,24 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Ответ

u = 39,24 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 99,21 kPa

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·5 + γ_sat,clay·4

σ = 15,5·1 + 20·5 + 18·4 = 187,5 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·9 = 88,29 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 187,5 − 88,29 = 99,21 kPa

Ответ

σ′ = 99,21 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 151,5 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 95 + 100 = 195 kPa > 125 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,06·3,5/(1 + 0,95)·log₁₀(125/95) + 0,4·3,5/(1 + 0,95)·log₁₀(195/125)

S = 12,84 + 138,7 = 151,5 mm

Ответ

S = 151,5 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 2,468 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 3,5 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·3,5²/2 = 2,468 годы

Ответ

t = 2,468 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 27,59 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·2,25 = 27,59 kN

Ответ

F = 27,59 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 165,9 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5,5·3 = 165,9 kN

Ответ

F = 165,9 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 48,4 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(100/0,075)·2,2²/(2·9,81) = 4,934 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,934 = 48400 Pa = 48,4 kPa

Ответ

Δp = 48,4 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 5,44 m

Скорость

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·200/0,15 = 29,33

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 29,33 + 6,7)·0,1469 = 5,44 m

Ответ

H = 5,44 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 149,7 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 2·2,5)·2,5 = 26,25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·2,5·√(1 + 2²) = 16,68 m

R = A/P = 1,574 m

Скорость

V = (1/0,015)·1,574^2/3·0,004^1/2 = 5,705 m/s

Расход

Q = A·V = 26,25·5,705 = 149,7 m³/s

Ответ

Q = 149,7 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0007634 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,2823)² = 0,0007634

Ответ

S = 0,0007634

Это понижение на 0,7634 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 9,002 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·52 = 7,652 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 7,652/0,85 = 9,002 kW

Ответ

P_shaft = 9,002 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 56,44 m

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 5)·0,3305 = 4,958 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 26 + 25,48 + 4,958 = 56,44 m

Ответ

H = 56,44 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 33333 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Растущая бессрочная рента

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0,07 − 0,01) = 2 000/0,06 = €33 333,33

Ответ

PV = €33 333,33

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 74257 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·17 = 204

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,04 − 1)/0,0035 = €74 257,10

Ответ

FV = €74 257,10

Сами вы внесли €51 000; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −3054 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 10 000/1,15 = 8 695,65

CF₂/(1 + 0,15)² = 12 000/1,322 = 9 073,72

CF₃/(1 + 0,15)³ = 7 000/1,521 = 4 602,61

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 8 000/1,749 = 4 574,03

Сложите

NPV = €−3 053,98

Ответ

NPV = €−3 053,98

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 18,86 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(15%) = 719,98

NPV(20%) = −196,76

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 15 + 5·719,98/(719,98 − (−196,76)) = 18,93%

точно: NPV(18,86%) = 0 → IRR = 18,86%

Ответ

IRR = 18,86%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,2902

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5

z₂ = (103,75 − 100)/15 = 0,25

Площадь между

P = Φ(0,25) − Φ(−0,5) = 0,5987 − 0,3085 = 0,2902

Ответ

P = 0,2902

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Вероятность

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil