Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, убывающей от 8 kN/m в A до нуля в B. Кроме того, на расстоянии 1 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 10 mw₀ = 8 kN/mP = 55 kN в 1 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 6 mP = 60 kN в 2,5 mw = 5 kN/m от 4 до 6 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 15 kN ↓C: 10 kN ↓D: 30 kN ↓F: 30 kN ↓H: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 30 kN ↓C: 35 kN ↓D: 15 kN ↓F: 20 kN ↓F: 40 kN →H: 30 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 40 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 3,5 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mM₀ = 40 kN·m по часовой стрелке, в точке 3,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите расстояние x₀ от A до сечения, в котором изгибающий момент наибольший.

L = 6 mw = 16 kN/m от 2 до 5 m

x₀ = m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 18 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 45 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 45 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 60 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 60 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 150 mmd = 60 mmцентр отверстия: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 200 mm × 300 mm имеет прямоугольный вырез шириной 40 mm и высотой 40 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 300 mmвырез: 40 × 40 mmцентр отверстия: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 9,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 6,5 m имеет C_c = 0,3, C_r = 0,05 и e₀ = 0,6. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 120 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 150 kPa. Новое здание добавляет 110 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 6,5 mC_c = 0,3C_r = 0,05e₀ = 0,6σ′₀ = 120 kPaσ′_p = 150 kPaΔσ = 110 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 6,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 0,8 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 70% фактор времени T_v = 0,403. За сколько лет t слой достигнет 70% консолидации?

H = 6,5 mc_v = 0,8 m²/годU = 70%T_v = 0,403двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,1 m/s по горизонтальной трубе длиной 400 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,1 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 200 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,018. Уровень воды в верхнем резервуаре на 24 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 24 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) имеет ширину по дну 4,5 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 0,7 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 4,5 my = 0,7 mz = 3n = 0,012S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) с шириной по дну 4 m и заложением откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 9,9 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 9,9 m³/sb = 4 my = 1,1 mz = 1,5n = 0,015

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 15 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 66 m. КПД насоса 70%, а КПД приводящего его электродвигателя 94%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 15 L/sH = 66 mη_pump = 70%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 7 m выше. Труба длиной 600 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €2 000 под номинальную ставку 3,6 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 7 лет.

PV = €2 0003,6% / 4n = 7

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €150 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет под 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 4? Найдите остаток долга B.

P = €150 0005,4% / 12N = 300k = 48

B = €

27.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €60 000 сегодня и приносит €14 500, €18 500, €17 000, €13 000, €17 500 в конце годов с 1-го по 5-й. Стоимость капитала — 10 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 14 500CF₂ = 18 500CF₃ = 17 000CF₄ = 13 000CF₅ = 17 500

DPB = годы

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €12 000, €14 500, €11 000 в конце годов с 1-го по 3-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 10 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 10%CF₀ = −25 000CF₁ = 12 000CF₂ = 14 500CF₃ = 11 000

MIRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9233. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9233

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 80% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов80%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 18,83 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·8·10 = 40 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·3,333 + 55·1

R_B = 18,83 kN

R_A = 95 − 18,83 = 76,17 kN

Ответ

R_B = 18,83 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 36,67 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·2,5 + 5·2·5

R_B = 200/6 = 33,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 33,33 = 36,67 kN

Ответ

R_A = 36,67 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 48,75 kN (T), BC: 48,75 kN (T), CD: 46,25 kN (T), DE: 46,25 kN (T), FG: 52,5 kN (C), GH: 52,5 kN (C), AF: 68,94 kN (C), HE: 65,41 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 5,303 kN (T), HC: 8,839 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 118,3 kN (T), BC: 118,3 kN (T), CD: 95 kN (T), DE: 95 kN (T), FG: 130 kN (C), GH: 130 kN (C), AF: 97,92 kN (C), HE: 118,7 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 14,58 kN (T), HC: 43,75 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −28 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/5 = 8 kN (вверх)

R_A = −R_B = −8 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только R_A.

M_x = R_A·a = −8·3,5 = −28 kN·m

Ответ

M_x = −28 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: x₀ = 3,25 m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 16·3 = 48 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 16·3·3,5

R_B = 168/6 = 28 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 28 = 20 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 20/16 = 3,25 m

Ответ

x₀ = 3,25 m

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 57,53 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 57,53 mm

Ответ

δ = 57,53 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 51,54 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 18000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm, EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·4000³/(48·5,95 × 10¹¹) = 40,34 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 11,2 mm

Сложите

δ_max = 40,34 + 11,2 = 51,54 mm

Ответ

δ_max = 51,54 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 6,909 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/2000² = 6909 N = 6,909 kN

Ответ

P_cr = 6,909 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 50,5 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·45000 = 112500 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 50,5 mm

Ответ

d = 50,5 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 110,9, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 54,91 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·75 − 2827·60)/(30000 − 2827) = 76,56 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·150³/12 + 30000·−1,561² = 56,32 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−16,56² = 1,412 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 54,91 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 54,91 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 448,3 × 10⁶ mm⁴

Центр тяжести

ȳ = (60000·150 − 1600·120)/(60000 − 1600) = 150,8 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·300³/12 + 60000·−0,8219² = 450 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

40·40³/12 + 1600·−30,82² = 1,733 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 448,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 448,3 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 29,43 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Ответ

u = 29,43 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 167,5 kPa

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·3,5

σ = 16·2 + 19·4 + 17·3,5 = 167,5 kPa

Ответ

σ = 167,5 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 245,9 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 120 + 110 = 230 kPa > 150 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,05·6,5/(1 + 0,6)·log₁₀(150/120) + 0,3·6,5/(1 + 0,6)·log₁₀(230/150)

S = 19,68 + 226,2 = 245,9 mm

Ответ

S = 245,9 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 5,321 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 6,5/2 = 3,25 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·3,25²/0,8 = 5,321 годы

Ответ

t = 5,321 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 25,75 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·1,5 = 25,75 kN

Ответ

F = 25,75 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 113,1 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,25·5 = 113,1 kN

Ответ

F = 113,1 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 176,4 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(400/0,1)·2,1²/(2·9,81) = 17,98 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·17,98 = 176400 Pa = 176,4 kPa

Ответ

Δp = 176,4 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 134,5 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·200/0,2 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

24 = (18 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·24/25,7) = 4,28 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 4,28·0,03142 = 0,1345 m³/s = 134,5 L/s

Ответ

Q = 134,5 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 7,019 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 3·0,7)·0,7 = 4,62 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·0,7·√(1 + 3²) = 8,927 m

R = A/P = 0,5175 m

Скорость

V = (1/0,012)·0,5175^2/3·0,0008^1/2 = 1,519 m/s

Расход

Q = A·V = 4,62·1,519 = 7,019 m³/s

Ответ

Q = 7,019 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0007949 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (4 + 1,5·1,1)·1,1 = 6,215 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,1·√(1 + 1,5²) = 7,966 m

R = A/P = 0,7802 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·9,9/(6,215·0,8475) = 0,02819

S = 0,02819² = 0,0007949

Ответ

S = 0,0007949

Это понижение на 0,7949 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 14,76 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·66 = 9,712 kW

Мощность на валу

P_shaft = 9,712/0,7 = 13,87 kW

Электрическая мощность

P_el = 13,87/0,94 = 14,76 kW

Ответ

P_el = 14,76 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 15 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 8)·0,1291 = 8,004 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 7 + 8,004 = 15 m

Ответ

H = 15 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 2570 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·7 = 28

Будущая стоимость

FV = 2 000·(1 + 0,009)²⁸ = 2 000·1,285 = €2 570,29

Ответ

FV = €2 570,29

26.Временная стоимость денег

Ответ: B = 137323 €

Ежемесячный платёж

i = 0,0045, N = 300

A = 150 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻³⁰⁰) = €912,19

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 300 − 48 = 252

B = 912,2·(1 − (1 + 0,0045)⁻²⁵²)/0,0045 = €137 323,19

Ответ

B = €137 323,19

27.NPV и IRR

Ответ: DPB = 4,909 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 14 500/1,1 = 13 181,82 → Σ = 13 181,82

год 2: 18 500/1,21 = 15 289,26 → Σ = 28 471,07

год 3: 17 000/1,331 = 12 772,35 → Σ = 41 243,43

год 4: 13 000/1,464 = 8 879,17 → Σ = 50 122,60

год 5: 17 500/1,611 = 10 866,12 → Σ = 60 988,72

Доля последнего года

DPB = 4 + 9 877,40/10 866,12 = 4,909

Ответ

DPB = 4,909 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,769 лет).

28.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 18,38 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

12 000·1,1² = 14 520,00

14 500·1,1¹ = 15 950,00

11 000·1,1⁰ = 11 000,00

TV = 41 470,00

MIRR

MIRR = (41 470,00/25 000)^1/3 − 1 = 18,38%

Ответ

MIRR = 18,38%

29.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,77

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9233)/2 = 0,9616

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9616 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,77

Ответ

z = 1,77

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 73,4 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,8

z из таблицы

z ≈ 0,84

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 0,84·10 = 73,4 баллов

Ответ

x = 73,4 баллов

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil