Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, возрастающей от нуля в A до 6 kN/m в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 8 mw₀ = 6 kN/m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 10 mP = 10 kN в 8 mw = 10 kN/m от 7 до 9 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 40 kN ↓C: 30 kN ↓F: 30 kN ↓G: 40 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN →

F_BC = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P₁ между опорами и сосредоточенной силой P₂ в C. Найдите изгибающий момент M_x под силой P₁. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP₁ = 40 kN в 6 mP₂ = 35 kN в 10 mопоры при x = 0 и x = 8 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 0 m50 kN @ 12 m10 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 3 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 28 kNa = 3 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 12 kNw = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 100 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 100 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 180 mm и толщиной 12 mm, полную высоту 320 mm и стенку толщиной 8 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 30 kN·m относительно оси x. Найдите величину наибольшего нормального напряжения при изгибе σ_max в сечении.

B = 180 mmH = 320 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mmM = 30 kN·m

σ_max = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 3 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 9 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 6,5 m имеет C_c = 0,3, C_r = 0,03 и e₀ = 0,65. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 85 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 2,5. Новое здание добавляет 70 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 6,5 mC_c = 0,3C_r = 0,03e₀ = 0,65σ′₀ = 85 kPaOCR = 2,5Δσ = 70 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 0,8 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 70% фактор времени T_v = 0,403. За сколько лет t слой достигнет 70% консолидации?

H = 5 mc_v = 0,8 m²/годU = 70%T_v = 0,403двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2 m/s по горизонтальной трубе длиной 1000 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 200 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,025. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (чистый грунт) имеет ширину по дну 1,5 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 1,5 my = 1,5 mz = 2n = 0,022S = 0,003

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (кирпичная кладка) шириной 4 m должен пропускать 13 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,4 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 13 m³/sb = 4 my = 1,4 mn = 0,015

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 38 m, а мощность на его валу 49,7 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 80 L/sH = 38 mP_shaft = 49,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 12 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 80 L/sΔz = 12 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 6

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €20 000 под номинальную ставку 6 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 8 лет.

PV = €20 0006% / 12n = 8

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €250 в конце каждого месяца в течение 14 лет. Счёт даёт 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2504,2% / 12N = 168

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €22 000, €13 000, €15 000, €12 000. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 000CF₂ = 13 000CF₃ = 15 000CF₄ = 12 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €28 500, €25 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 500CF₂ = 25 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 9 из них превышает 354,6 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9> 354,6 g

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 16 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·6·8 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 24·5,333

R_B = 16 kN

R_A = 24 − 16 = 8 kN

Ответ

R_B = 16 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 24 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, приложена в x̄ = 8 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·8 + 10·2·8

R_B = 240/10 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 24 = 6 kN

Ответ

R_B = 24 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 116,7 kN (T), BC: 116,7 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 70 kN (T), FG: 140 kN (C), GH: 140 kN (C), AF: 145,8 kN (C), HE: 87,5 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 29,17 kN (T), HC: 87,5 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −38,69 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·1 + 25·4 → C_y = 24,17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 24,17 = 20,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24,17/0,6247 = −38,69 kN

Ответ

F_BC = −38,69 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 7,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·6 + 35·10

R_B = 590/8 = 73,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 73,75 = 1,25 kN

Сечение под P₁, оставляем левую часть

M_x = R_A·6 = 1,25·6 = 7,5 kN·m

Ответ

M_x = 7,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 10 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 46,25 kN, R₂ = 58,75 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −90, M_C = −87,5, M_D = −85, M_E = −82,5, M_F = −100 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −100 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 5,895 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 28000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 28000·3000²·2000²/(3·1,14 × 10¹³·5000) = 5,895 mm

Ответ

δ_P = 5,895 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 2,394 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 12000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·2500³/(48·5,88 × 10¹²) = 0,6643 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 1,73 mm

Сложите

δ_max = 0,6643 + 1,73 = 2,394 mm

Ответ

δ_max = 2,394 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 109,9 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109,9 kN

Ответ

P_cr = 109,9 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 49,63 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·100000 = 300000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 49,63 mm

Ответ

d = 49,63 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 112,8, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 5,219 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

стенка: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·105 + 2000·50)/4800 = 82,08 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·10³/12 + 2800·(105 − 82,08)² = 1,494 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·100³/12 + 2000·(50 − 82,08)² = 3,725 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,494 × 10⁶ + 3,725 × 10⁶ = 5,219 × 10⁶ mm⁴ = 5,219 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 5,219 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_max = 40,07 MPa

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 320 − 2·12 = 296 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·320³ − 172·296³)/12

I_x = 1,198 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 160 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·160/1,198 × 10⁸ = 40,07 MPa

Ответ

σ_max = 40,07 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 19,62 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Ответ

u = 19,62 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 167 kPa

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·5 + γ_sat,clay·3

σ = 15·1 + 19·5 + 19·3 = 167 kPa

Ответ

σ = 167 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 30,84 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·85 = 212,5 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 85 + 70 = 155 kPa ≤ 212,5 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·6,5/(1 + 0,65)·log₁₀(155/85) = 30,84 mm

Ответ

S = 30,84 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 3,148 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 5/2 = 2,5 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·2,5²/0,8 = 3,148 годы

Ответ

t = 3,148 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 103 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN

Ответ

F = 103 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 20,11 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1·2 = 20,11 kN

Ответ

F = 20,11 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 440 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,1)·2²/(2·9,81) = 44,85 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·44,85 = 440000 Pa = 440 kPa

Ответ

Δp = 440 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 7,596 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,025·150/0,2 = 18,75

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Полная потеря напора

h_f = 18,75·0,2905 = 5,447 m

h_m = 7,4·0,2905 = 2,15 m

Δz = h_f + h_m = 7,596 m

Ответ

Δz = 7,596 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 14,75 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 2·1,5)·1,5 = 6,75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,5·√(1 + 2²) = 8,208 m

R = A/P = 0,8223 m

Скорость

V = (1/0,022)·0,8223^2/3·0,003^1/2 = 2,185 m/s

Расход

Q = A·V = 6,75·2,185 = 14,75 m³/s

Ответ

Q = 14,75 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001571 m/m

Геометрия

A = b·y = 4·1,4 = 5,6 m²

P = b + 2y = 4 + 2·1,4 = 6,8 m

R = A/P = 0,8235 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·13/(5,6·0,8786) = 0,03963

S = 0,03963² = 0,001571

Ответ

S = 0,001571

Это понижение на 1,571 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 60 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·38 = 29,82 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 29,82/49,7 = 60%

Ответ

η = 60%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 19,44 m

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,5 + 6)·0,3305 = 7,436 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 12 + 7,436 = 19,44 m

Ответ

H = 19,44 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 32283 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,06/12 = 0,005

N = m·n = 12·8 = 96

Будущая стоимость

FV = 20 000·(1 + 0,005)⁹⁶ = 20 000·1,614 = €32 282,85

Ответ

FV = €32 282,85

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 57038 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·14 = 168

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,799 − 1)/0,0035 = €57 038,34

Ответ

FV = €57 038,34

Сами вы внесли €42 000; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −8791 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 22 000/1,09 = 20 183,49

CF₂/(1 + 0,09)² = 13 000/1,188 = 10 941,84

CF₃/(1 + 0,09)³ = 15 000/1,295 = 11 582,75

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 12 000/1,412 = 8 501,10

Сложите

NPV = €−8 790,82

Ответ

NPV = €−8 790,82

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 22,34 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 1 111,11

NPV(25%) = −1 200,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·1 111,11/(1 111,11 − (−1 200,00)) = 22,4%

точно: NPV(22,34%) = 0 → IRR = 22,34%

Ответ

IRR = 22,34%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9332

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 360 g, σ_T = 1,2·√9 = 3,6 g

Стандартизуйте

z = (354,6 − 360)/3,6 = −1,5

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Распределение разности

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Вероятность

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Метод

Ферма: метод вырезания узлов

Метод

Поперечная сила и изгибающий момент

Метод

Прогиб балки

Устойчивость колонн

Центр тяжести и момент инерции

Эффективное напряжение в грунте

Консолидационная осадка

Гидростатическое давление

Трение в трубах и потери напора

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Насосы и мощность насоса

Временная стоимость денег

Метод

NPV и IRR

Метод

Нормальное распределение

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Равнодействующая треугольной нагрузки

Равновесие

Ответ

Расчётная схема

Равновесие

Ответ

Узел D

Проверка методом вырезания узлов

Ответ

Опорные реакции

Узел C

Ответ

Опорные реакции

Сечение под P1, оставляем левую часть

Ответ

Опорные реакции

Изгибающий момент в каждой отметке

Ответ

Согласованные единицы

Прогиб под силой

Ответ

Согласованные единицы

Каждая нагрузка отдельно

Сложите

Ответ

Наименьший момент инерции

Расчётная длина

Критическая сила

Ответ

Требуемая критическая сила

Выразите диаметр

Ответ

Разбейте на два прямоугольника

Центр тяжести

Теорема о параллельном переносе осей

Ответ

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Напряжение изгиба

Ответ

Поровое давление

Ответ

Полное напряжение

Ответ

Давление предварительного уплотнения

Сравните с давлением предварительного уплотнения

Осадка

Ответ

Путь фильтрации

Время

Ответ

Глубина центра тяжести и площадь

Равнодействующая сила

Ответ

Глубина центра тяжести и площадь

Равнодействующая сила

Сечение под P₁, оставляем левую часть