Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 6 mP₁ = 35 kN в 2,5 mP₂ = 30 kN в 3 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP = 35 kN в 1,5 mw = 6 kN/m от 1 до 3 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 15 kN ↓F: 25 kN ↓G: 20 kN ↓H: 15 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 10 kN →

F_BC = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P₁ между опорами и сосредоточенной силой P₂ в C. Найдите изгибающий момент M_x под силой P₁. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP₁ = 60 kN в 7 mP₂ = 20 kN в 10 mопоры при x = 0 и x = 8 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 55 kN в 2,5 mw = 3 kN/m от 0 до 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена сосредоточенной силой P в середине пролёта. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 3 mP = 25 kN в 1,5 m

R_B = kN

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 120 mm и внутренний диаметр d = 100 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 120 mmd = 100 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 15 kN·m

σ_низ = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 7 m имеет C_c = 0,2, C_r = 0,05 и e₀ = 0,8. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 90 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 2,5. Новое здание добавляет 110 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 7 mC_c = 0,2C_r = 0,05e₀ = 0,8σ′₀ = 90 kPaOCR = 2,5Δσ = 110 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 8,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 2,5 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 60% фактор времени T_v = 0,287. За сколько лет t слой достигнет 60% консолидации?

H = 8,5 mc_v = 2,5 m²/годU = 60%T_v = 0,287двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,1 m/s по горизонтальной трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,1 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 100 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Уровень воды в верхнем резервуаре на 21 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 21 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (затёртый бетон) имеет ширину 1 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,004. Найдите расход Q в m³/s.

b = 1 my = 1,9 mn = 0,012S = 0,004

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) с шириной по дну 2,5 m и заложением откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 30 m³/s при равномерном течении с глубиной 2,1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 30 m³/sb = 2,5 my = 2,1 mz = 2n = 0,015

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 100 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 14 m. КПД насоса 60%, а КПД приводящего его электродвигателя 88%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 100 L/sH = 14 mη_pump = 60%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 120 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 17 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 120 L/sΔz = 17 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 6

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €5 000 в конце каждого года в течение 12 лет. Процентная ставка — 5 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €5 000i = 5%n = 12

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €150 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет. Ставка — 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €150 0004,2% / 12N = 300

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €200 000 сегодня. Он приносит €18 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 1 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €18 000g = 1%r = 12%

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Инвестиция €10 000 приносит €2 000 в конце каждого года в течение 8 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €10 000CF = €2 000n = 8

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 29,5 min. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 29,5 min

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 29,58 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·2,5 + 30·3

R_B = 177,5/6 = 29,58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 29,58 = 35,42 kN

Ответ

R_B = 29,58 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 31,7 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·1,5 + 6·2·2

R_B = 76,5/5 = 15,3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 47 − 15,3 = 31,7 kN

Ответ

R_A = 31,7 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 43,75 kN (T), BC: 43,75 kN (T), CD: 31,25 kN (T), DE: 31,25 kN (T), FG: 47,5 kN (C), GH: 47,5 kN (C), AF: 61,87 kN (C), HE: 44,19 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 5,303 kN (T), HC: 22,98 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −24,3 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·1 + 10·3 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 12,5 = 32,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12,5/0,5145 = −24,3 kN

Ответ

F_BC = −24,3 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 17,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·7 + 20·10

R_B = 620/8 = 77,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 77,5 = 2,5 kN

Сечение под P₁, оставляем левую часть

M_x = R_A·7 = 2,5·7 = 17,5 kN·m

Ответ

M_x = 17,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 12,94 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2,5 + 3·4·2

R_B = 161,5/4 = 40,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 40,38 = 26,63 kN

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 26,63·0,5 − 3·0,5·0,25 = 12,94 kN·m

Ответ

M_x = 12,94 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 4,509 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 4,509 mm

Ответ

δ_max = 4,509 mm

8.Прогиб балки

Ответ: R_B = 7,813 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·25/16 = 7,813 kN

Ответ

R_B = 7,813 kN

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 44,98 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1000 = 1000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1000² = 44979 N = 44,98 kN

Ответ

P_cr = 44,98 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 11,05 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Ответ

σ_cr = 11,05 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 39,05 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 3456 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5,27 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(5,27 × 10⁶/3456) = 39,05 mm

Ответ

r = 39,05 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 113,4 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

стенка: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·207,5 + 2400·100)/3900 = 141,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·15³/12 + 1500·(207,5 − 141,3)² = 6,593 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·200³/12 + 2400·(100 − 141,3)² = 1,21 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,593 × 10⁶ + 1,21 × 10⁷ = 1,87 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 141,3 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·141,3/1,87 × 10⁷ = 113,4 MPa

Ответ

σ_низ = 113,4 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 49,76 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·1 + 18,5·4 = 89 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 89 − 39,24 = 49,76 kPa

Ответ

σ′ = 49,76 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 84,76 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 16,5·3 + 20,5·1 + 18·3 = 124 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 124 − 39,24 = 84,76 kPa

Ответ

σ′ = 84,76 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 67,43 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·90 = 225 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 90 + 110 = 200 kPa ≤ 225 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,05·7/(1 + 0,8)·log₁₀(200/90) = 67,43 mm

Ответ

S = 67,43 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 2,074 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 8,5/2 = 4,25 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·4,25²/2,5 = 2,074 годы

Ответ

t = 2,074 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 95,65 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·3 = 95,65 kN

Ответ

F = 95,65 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 170 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,25·3,75 = 170 kN

Ответ

F = 170 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 22,05 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(50/0,1)·2,1²/(2·9,81) = 2,248 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·2,248 = 22050 Pa = 22,05 kPa

Ответ

Δp = 22,05 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 27,3 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·200/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

21 = (30 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·21/34,1) = 3,476 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,476·0,007854 = 0,0273 m³/s = 27,3 L/s

Ответ

Q = 27,3 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 5,399 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 1·1,9 = 1,9 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1,9 = 4,8 m

R = A/P = 0,3958 m

Скорость

V = (1/0,012)·0,3958^2/3·0,004^1/2 = 2,841 m/s

Расход

Q = A·V = 1,9·2,841 = 5,399 m³/s

Ответ

Q = 5,399 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0008174 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·2,1)·2,1 = 14,07 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,1·√(1 + 2²) = 11,89 m

R = A/P = 1,183 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·30/(14,07·1,119) = 0,02859

S = 0,02859² = 0,0008174

Ответ

S = 0,0008174

Это понижение на 0,8174 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 26,01 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·14 = 13,73 kW

Мощность на валу

P_shaft = 13,73/0,6 = 22,89 kW

Электрическая мощность

P_el = 22,89/0,88 = 26,01 kW

Ответ

P_el = 26,01 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 22,85 m

Скорость

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,2 + 6)·0,3046 = 5,848 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 17 + 5,848 = 22,85 m

Ответ

H = 22,85 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 44316 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5568)/0,05 = 8,863

Приведённая стоимость

PV = 5 000·8,863 = €44 316,26

Ответ

PV = €44 316,26

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 808,4 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·25 = 300

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,3506

A = 150 000·0,0035/(1 − 0,3506) = €808,41

Ответ

A = €808,41

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −36364 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 18 000/(0,12 − 0,01) = 163 636,36

NPV

NPV = 163 636,36 − 200 000 = −€36 363,64

Ответ

NPV = −€36 363,64

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 11,81 %

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 10 000/2 000 = 5

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 11%: 5,146

i = 12%: 4,968

IRR = 11,81%

Ответ

IRR = 11,81%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (29,5 − 32)/2,5 = −1

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Метод

Ферма: метод вырезания узлов

Метод

Поперечная сила и изгибающий момент

Метод

Прогиб балки

Устойчивость колонн

Центр тяжести и момент инерции

Эффективное напряжение в грунте

Консолидационная осадка

Гидростатическое давление

Трение в трубах и потери напора

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Насосы и мощность насоса

Временная стоимость денег

Метод

NPV и IRR

Метод

Нормальное распределение

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Расчётная схема

Равновесие

Ответ

Расчётная схема

Равновесие

Ответ

Узел D

Проверка методом вырезания узлов

Ответ

Опорные реакции

Узел C

Ответ

Опорные реакции

Сечение под P1, оставляем левую часть

Ответ

Опорные реакции

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Ответ

Согласованные единицы

Прогиб

Ответ

Отбрасываем опору

Условие совместности на опоре

Ответ

Наименьший момент инерции

Расчётная длина

Критическая сила

Ответ

Наименьший момент инерции

Радиус инерции и гибкость

Критическое напряжение

Ответ

Площадь и момент инерции нетто

Радиус инерции

Ответ

Разбейте на два прямоугольника

Центр тяжести

Теорема о параллельном переносе осей

Напряжение изгиба

Ответ

Полное напряжение

Поровое давление

Эффективное напряжение

Ответ

Полное напряжение

Поровое давление

Эффективное напряжение

Ответ

Давление предварительного уплотнения

Сравните с давлением предварительного уплотнения

Осадка

Ответ

Путь фильтрации

Время

Ответ

Сечение под P₁, оставляем левую часть