Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 4 mP₁ = 25 kN в 2 mP₂ = 35 kN в 2,5 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 4 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 4,5 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 5 mw₀ = 4 kN/mP = 20 kN в 4,5 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 40 kN ↓D: 25 kN ↓F: 20 kN ↓F: 40 kN →

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 2 kN/m от 0 до 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 7 mw = 8 kN/m от 0 до 7 mопоры при x = 0 и x = 5 m

M_max = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 29 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя равными сосредоточенными силами P в третях пролёта (на расстоянии L/3 от каждой опоры). Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине пролёта δ_max.

P = 12 kNL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 100 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 100 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 180 mm и толщиной 22 mm, полную высоту 260 mm и стенку толщиной 12 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 40 kN·m относительно оси x. Найдите величину наибольшего нормального напряжения при изгибе σ_max в сечении.

B = 180 mmH = 260 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mmM = 40 kN·m

σ_max = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 6,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 2,5 m имеет C_c = 0,25, C_r = 0,06 и e₀ = 1,15. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 70 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 180 kPa. Новое здание добавляет 95 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 2,5 mC_c = 0,25C_r = 0,06e₀ = 1,15σ′₀ = 70 kPaσ′_p = 180 kPaΔσ = 95 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 6 m имеет коэффициент консолидации c_v = 1,2 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 60% фактор времени T_v = 0,287. За сколько лет t слой достигнет 60% консолидации?

H = 6 mc_v = 1,2 m²/годU = 60%T_v = 0,287двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 75 L/s по трубе длиной 300 m с внутренним диаметром 300 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 75 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 200 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Уровень воды в верхнем резервуаре на 25 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 25 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (чистый грунт) имеет ширину 3 m. Вода течёт равномерно с глубиной 0,8 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022, уклон дна S = 0,002. Найдите расход Q в m³/s.

b = 3 my = 0,8 mn = 0,022S = 0,002

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (чистый грунт) шириной 2,5 m должен пропускать 4,2 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 4,2 m³/sb = 2,5 my = 0,9 mn = 0,022

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 54 m, а мощность на его валу 17,7 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 20 L/sH = 54 mP_shaft = 17,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 22 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 65%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 50 L/sΔz = 22 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 5η = 65%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €1 500 в конце каждого года в течение 5 лет. Процентная ставка — 7 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €1 500i = 7%n = 5

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €1 000 в начале каждого года в течение 21 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 6 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 21? Найдите FV.

A = €1 000i = 6%n = 21

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €16 000, €13 000, €16 000, €16 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 16 000CF₂ = 13 000CF₃ = 16 000CF₄ = 16 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €13 500, €8 000, €9 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 8 000CF₃ = 9 500

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 99,9 s. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 99,9 s

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 34,38 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2 + 35·2,5

R_B = 137,5/4 = 34,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 34,38 = 25,63 kN

Ответ

R_B = 34,38 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 123,3 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·4·5 = 10 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 10·3,333 + 20·4,5 = 123,3 kN·m

Ответ

M_A = 123,3 kN·m

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −31,25 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 15 = 25 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −25/0,8 = −31,25 kN

Ответ

F_AB = −31,25 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 68,44 kN (T), BC: 51,88 kN (T), CD: 51,88 kN (T), DE: 35,31 kN (T), FG: 68,44 kN (C), GH: 35,31 kN (C), AF: 47,4 kN (C), HE: 58,85 kN (C), BF: 17,92 kN (T), CG: 0, DH: 47,08 kN (T), BG: 27,6 kN (T), DG: 27,6 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 8,75 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 6·2,5 − 2·2,5·1,25 = 8,75 kN·m

Ответ

M_x = 8,75 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 17,64 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·7 = 56 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·7·3,5

R_B = 196/5 = 39,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 39,2 = 16,8 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 16,8/8 = 2,1 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 16,8²/(2·8) = 17,64 kN·m

Ответ

M_max = 17,64 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 10,02 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 29000 N, a = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2,862 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002862 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 10,02 mm

Ответ

δ_B = 10,02 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 11,57 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 12000 N, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Одна сила в точке L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 5,787 mm

Складываем обе силы

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 11,57 mm

Ответ

δ_max = 11,57 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 6,89 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/6000² = 6890 N = 6,89 kN

Ответ

P_cr = 6,89 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 56,68 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 56,68 mm

Ответ

d = 56,68 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 141,1, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 45,28 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

стенка: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·255 + 2880·120)/7080 = 200,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·30³/12 + 4200·(255 − 200,1)² = 1,298 × 10⁷ mm⁴

стенка: 12·240³/12 + 2880·(120 − 200,1)² = 3,23 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,298 × 10⁷ + 3,23 × 10⁷ = 4,528 × 10⁷ mm⁴ = 45,28 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 45,28 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_max = 42,43 MPa

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 260 − 2·22 = 216 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·260³ − 168·216³)/12

I_x = 1,226 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 130 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·130/1,226 × 10⁸ = 42,43 MPa

Ответ

σ_max = 42,43 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 39,24 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Ответ

u = 39,24 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 111,8 kPa

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3,5

σ = 16·2 + 18,5·1 + 17,5·3,5 = 111,8 kPa

Ответ

σ = 111,8 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 25,98 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 70 + 95 = 165 kPa ≤ 180 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·2,5/(1 + 1,15)·log₁₀(165/70) = 25,98 mm

Ответ

S = 25,98 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 2,153 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 6/2 = 3 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·3²/1,2 = 2,153 годы

Ответ

t = 2,153 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 101,2 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·3,75 = 101,2 kN

Ответ

F = 101,2 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,633 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·2 = 43,16 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,6667/(2,5·2) = 2,633 m

Ответ

y_cp = 2,633 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 0,8607 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,061²/(2·9,81) = 0,05738 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,3)·1,061²/(2·9,81) = 0,8607 m

Ответ

h_f = 0,8607 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 153,3 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·150/0,2 = 16,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

25 = (16,5 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·25/20,6) = 4,88 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 4,88·0,03142 = 0,1533 m³/s = 153,3 L/s

Ответ

Q = 153,3 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 3,162 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 3·0,8 = 2,4 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0,8 = 4,6 m

R = A/P = 0,5217 m

Скорость

V = (1/0,022)·0,5217^2/3·0,002^1/2 = 1,317 m/s

Расход

Q = A·V = 2,4·1,317 = 3,162 m³/s

Ответ

Q = 3,162 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,004 m/m

Геометрия

A = b·y = 2,5·0,9 = 2,25 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·0,9 = 4,3 m

R = A/P = 0,5233 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·4,2/(2,25·0,6493) = 0,06324

S = 0,06324² = 0,004

Ответ

S = 0,004

Это понижение на 4 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 59,86 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·54 = 10,59 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 10,59/17,7 = 59,86%

Ответ

η = 59,86%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 27,17 kW

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (29,33 + 5)·0,408 = 14,01 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 22 + 14,01 = 36,01 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·36,01/0,65 = 27,17 kW

Ответ

P_shaft = 27,17 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 6150 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,713)/0,07 = 4,1

Приведённая стоимость

PV = 1 500·4,1 = €6 150,30

Ответ

PV = €6 150,30

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 42392 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,06)²¹ − 1)/0,06 = 39,99

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 1 000·39,99·1,06 = €42 392,29

Ответ

FV = €42 392,29

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −11761 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 16 000/1,1 = 14 545,45

CF₂/(1 + 0,1)² = 13 000/1,21 = 10 743,80

CF₃/(1 + 0,1)³ = 16 000/1,331 = 12 021,04

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 16 000/1,464 = 10 928,22

Сложите

NPV = €−11 761,49

Ответ

NPV = €−11 761,49

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 27,85 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(25%) = 784,00

NPV(30%) = −557,58

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 25 + 5·784,00/(784,00 − (−557,58)) = 27,92%

точно: NPV(27,85%) = 0 → IRR = 27,85%

Ответ

IRR = 27,85%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (99,9 − 105)/6,403 = −0,8

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 39,69 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Ответ

x = 39,69 min

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil