Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 8 mP₁ = 55 kN в 5 mP₂ = 30 kN в 6 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 3 m до свободного конца в точке 5 m. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 3 mAC = 5 mP = 80 kN в 1 mw = 12 kN/m от 3 до 5 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 35 kN ↓G: 15 kN ↓H: 25 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN →

F_AC = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 5 kN/m от 0 до 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 55 kN в 2 mw = 8 kN/m от 0 до 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 24 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmM = 5 kN·m

σ_верх = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 6,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 3,5 m имеет C_c = 0,2, C_r = 0,06 и e₀ = 0,8. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 45 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 2,5. Новое здание добавляет 80 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 3,5 mC_c = 0,2C_r = 0,06e₀ = 0,8σ′₀ = 45 kPaOCR = 2,5Δσ = 80 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

В лабораторном компрессионном испытании образец глины толщиной 20 mm с дренированием сверху и снизу достигает 50% консолидации за 10 min. В природе та же глина образует слой толщиной 3,5 m. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. За сколько суток t природный слой достигнет 50% консолидации?

h_lab = 20 mmt_lab = 10 minH = 3,5 mв природе: односторонний дренаж

t = сут

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 0,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 2,4 m/s по трубе длиной 1000 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 2,4 m/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 100 m с внутренним диаметром 300 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,022) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 10). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 750 mm заполнен ровно полностью (течёт как открытое русло, не под напором). Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 250 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 1,2 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 250 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 80% подаёт 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 70 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 40 L/sH = 70 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 11 m выше. Труба длиной 500 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 400 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 6p_tank = 400 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Через 8 лет вам нужно €5 000. Счёт даёт 4,8 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €5 0004,8% / 12n = 8

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €200 в конце каждого месяца в течение 29 лет. Счёт даёт 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2003,6% / 12N = 348

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €60 000 сегодня и приносит €19 000 в конце каждого года в течение 5 лет. Стоимость капитала — 5 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 000CF₂ = 19 000CF₃ = 19 000CF₄ = 19 000CF₅ = 19 000

DPB = годы

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €5 000, €4 500, €3 000, €4 500 в конце годов с 1-го по 4-й. Денежные потоки можно реинвестировать по стоимости капитала 10 %. Найдите модифицированную внутреннюю норму доходности MIRR в процентах.

r = 10%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 4 500CF₃ = 3 000CF₄ = 4 500

MIRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 242,75 и 259 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,75x₂ = 259

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 97,5 % значений (97,5-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 97,5%

x = h

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 28,13 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·5 + 30·6

R_B = 455/8 = 56,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 56,88 = 28,13 kN

Ответ

R_A = 28,13 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 45,33 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 12·2 = 24 kN, x̄ = (3 + 5)/2 = 4 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 80·1 + 24·4

R_B = 176/3 = 58,67 kN

R_A = 104 − 58,67 = 45,33 kN

Ответ

R_A = 45,33 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 53,33 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 46,67 kN (T), FG: 53,33 kN (C), GH: 46,67 kN (C), AF: 66,67 kN (C), HE: 58,33 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 8,333 kN (C), DG: 16,67 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 21,11 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·2 + 25·3 → C_y = 15,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 15,83 = −5,833 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15,83/0,6 = −26,39 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−26,39)·0,8 = 21,11 kN

Ответ

F_AC = 21,11 kN (растяжение)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 16,88 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 15·1,5 − 5·1,5·0,75 = 16,88 kN·m

Ответ

M_x = 16,88 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 105,3 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·2 + 8·6·3

R_B = 254/6 = 42,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 103 − 42,33 = 60,67 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 60,67·2 − 8·2·1 = 105,3 kN·m

Ответ

M_x = 105,3 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 1,266 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 24000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,8438 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0008437 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,266 mm

Ответ

δ_B = 1,266 mm

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·8000⁴/(384·70000·22,22) = 5,143 × 10⁸ mm⁴

I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 101,1 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2500² = 101065 N = 101,1 kN

Ответ

P_cr = 101,1 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 100,7 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/5 = 140

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Ответ

σ_cr = 100,7 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 62,35 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

стенка: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·287,5 + 5600·140)/7100 = 171,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·15³/12 + 1500·(287,5 − 171,2)² = 2,033 × 10⁷ mm⁴

стенка: 20·280³/12 + 5600·(140 − 171,2)² = 4,202 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,033 × 10⁷ + 4,202 × 10⁷ = 6,235 × 10⁷ mm⁴ = 62,35 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 62,35 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 21,83 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

стенка: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·225 + 2640·110)/3640 = 141,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·10³/12 + 1000·(225 − 141,6)² = 6,965 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·220³/12 + 2640·(110 − 141,6)² = 1,328 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,965 × 10⁶ + 1,328 × 10⁷ = 2,025 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 230 − 141,6 = 88,41 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·88,41/2,025 × 10⁷ = 21,83 MPa

Ответ

σ_верх = 21,83 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 67,14 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·1 + 18,5·6 = 126 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 126 − 58,86 = 67,14 kPa

Ответ

σ′ = 67,14 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 114,5 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15·1 + 20·2 + 17·3,5 = 114,5 kPa

Ответ

σ = 114,5 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 64,22 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·45 = 112,5 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 45 + 80 = 125 kPa > 112,5 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,06·3,5/(1 + 0,8)·log₁₀(112,5/45) + 0,2·3,5/(1 + 0,8)·log₁₀(125/112,5)

S = 46,43 + 17,79 = 64,22 mm

Ответ

S = 64,22 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 850,7 сут

Пути фильтрации

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 3,5 m

Пересчитайте время

t = T_v·H_dr²/c_v с одинаковыми T_v и c_v в лаборатории и в природе.

t_field = 10·(3,5/0,01)² = 1,225 × 10⁶ min

t_field = 1,225 × 10⁶/1440 = 850,7 сут

Ответ

t = 850,7 сут

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 239,1 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·7,5 = 239,1 kN

Ответ

F = 239,1 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 1,083 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1·3 = 37,08 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0,25/(1·3) = 1,083 m

Ответ

y_cp = 1,083 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 43,06 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,4²/(2·9,81) = 0,2936 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,15)·2,4²/(2·9,81) = 43,06 m

Ответ

h_f = 43,06 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 4,598 m

Скорость

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

V²/(2g) = 0,2295 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·100/0,3 = 7,333

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 7,333 + 11,7)·0,2295 = 4,598 m

Ответ

H = 4,598 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,3149 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,4418 m², R = D/4 = 0,1875 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,0008^1/2 = 0,7127 m/s

Расход

Q = A·V = 0,4418·0,7127 = 0,3149 m³/s

Ответ

Q = 0,3149 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,009812 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,1575)² = 0,009812

Ответ

S = 0,009812

Это понижение на 9,812 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 34,34 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·70 = 27,47 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 27,47/0,8 = 34,34 kW

Ответ

P_shaft = 34,34 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 84,15 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (73,33 + 6)·0,408 = 32,37 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 40,77 + 32,37 = 84,15 m

Ответ

H = 84,15 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 3408 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·8 = 96

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,467 = €3 408,27

Ответ

PV = €3 408,27

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 122408 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·29 = 348

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(2,836 − 1)/0,003 = €122 408,04

Ответ

FV = €122 408,04

Сами вы внесли €69 600; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: DPB = 3,528 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 19 000/1,05 = 18 095,24 → Σ = 18 095,24

год 2: 19 000/1,103 = 17 233,56 → Σ = 35 328,80

год 3: 19 000/1,158 = 16 412,91 → Σ = 51 741,71

год 4: 19 000/1,216 = 15 631,35 → Σ = 67 373,06

Доля последнего года

DPB = 3 + 8 258,29/15 631,35 = 3,528

Ответ

DPB = 3,528 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,158 лет).

28.NPV и IRR

Ответ: MIRR = 18,77 %

Модифицированная IRR: нарастите каждое поступление до конца проекта по ставке реинвестирования (обычно по стоимости капитала), чтобы получить конечную стоимость TV. MIRR — это ставка, превращающая первоначальные инвестиции в TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Конечная стоимость поступлений

5 000·1,1³ = 6 655,00

4 500·1,1² = 5 445,00

3 000·1,1¹ = 3 300,00

4 500·1,1⁰ = 4 500,00

TV = 19 900,00

MIRR

MIRR = (19 900,00/10 000)^1/4 − 1 = 18,77%

Ответ

MIRR = 18,77%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8905

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (242,75 − 250)/5 = −1,45

z₂ = (259 − 250)/5 = 1,8

Площадь между

P = Φ(1,8) − Φ(−1,45) = 0,9641 − 0,07353 = 0,8905

Ответ

P = 0,8905

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 578,4 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Обратно к x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Ответ

x = 578,4 h

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil