Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 10 mP₁ = 40 kN в 6 mP₂ = 30 kN в 9 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP = 35 kN в 2,5 mw = 6 kN/m от 1 до 5 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kN

F_BC = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 35 kN ↓F: 30 kN →G: 40 kN ↓H: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 8 kN/m от 0 до 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 20 kN в 4 mw = 12 kN/m от 0 до 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 16 kNw = 15 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 120 mm × 200 mm имеет круглое отверстие диаметром 60 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 130 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mmцентр отверстия: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 120 × 10 mm, стенку высотой 240 mm и толщиной 14 mm и нижнюю полку 260 × 14 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 120 × 10 mmстенка: 14 × 240 mmнижняя полка: 260 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 2 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 5,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16,5 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 3 m имеет C_c = 0,35, C_r = 0,04 и e₀ = 1,15. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 75 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 135 kPa. Новое здание добавляет 25 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 3 mC_c = 0,35C_r = 0,04e₀ = 1,15σ′₀ = 75 kPaσ′_p = 135 kPaΔσ = 25 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 8 m имеет коэффициент консолидации c_v = 0,5 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 90% фактор времени T_v = 0,848. За сколько лет t слой достигнет 90% консолидации?

H = 8 mc_v = 0,5 m²/годU = 90%T_v = 0,848односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2 m/s по горизонтальной трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 300 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,018. Уровень воды в верхнем резервуаре на 12 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 12 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 750 mm заполнен ровно полностью (течёт как открытое русло, не под напором). Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,001. Найдите расход Q в m³/s.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,001

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (необработанный бетон) шириной 2 m должен пропускать 3,9 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,7 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 3,9 m³/sb = 2 my = 0,7 mn = 0,014

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 80% подаёт 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 44 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 80 L/sH = 44 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 8 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 80 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €10 000 под 4 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 20 лет.

PV = €10 000r = 4%t = 20

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €20 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 4 лет под 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €20 0003% / 12N = 48

I = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €27 000, €17 000, €14 000, €14 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 27 000CF₂ = 17 000CF₃ = 14 000CF₄ = 14 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €6 500, €4 500, €3 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 4 500CF₃ = 3 500

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 5 из них меньше 398,2 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5< 398.2 kg

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 20% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов20%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 19 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·6 + 30·9

R_B = 510/10 = 51 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 51 = 19 kN

Ответ

R_A = 19 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 31,9 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2,5 + 6·4·3

R_B = 159,5/5 = 31,9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 31,9 = 27,1 kN

Ответ

R_B = 31,9 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −11,18 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 5 = 20 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0,4472 = −11,18 kN

Ответ

F_BC = −11,18 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 71,25 kN (T), BC: 77,5 kN (T), CD: 77,5 kN (T), DE: 43,75 kN (T), FG: 71,25 kN (C), GH: 43,75 kN (C), AF: 58,34 kN (C), HE: 61,87 kN (C), BF: 41,25 kN (T), CG: 0, DH: 33,75 kN (T), BG: 8,839 kN (C), DG: 47,73 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 7 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 16·3,5 − 8·3,5·1,75 = 7 kN·m

Ответ

M_x = 7 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 136 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·4 + 12·8·4

R_B = 464/8 = 58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 116 − 58 = 58 kN

Рассеките в x = 4 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 58·4 − 12·4·2 = 136 kN·m

Ответ

M_x = 136 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 1,636 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 16000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 16000·1500³/(3·1,68 × 10¹³) = 1,071 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 0,565 mm

Сложите

δ = 1,071 + 0,565 = 1,636 mm

Ответ

δ = 1,636 mm

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 66,58 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2500⁴/(384·11000·6,944) = 6,658 × 10⁷ mm⁴

I_req = 66,58 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 66,58 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 8,225 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/5000² = 8225 N = 8,225 kN

Ответ

P_cr = 8,225 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 7,896 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/5 = 500

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Ответ

σ_cr = 7,896 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·100 − 2827·130)/(24000 − 2827) = 95,99 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·200³/12 + 24000·4,006² = 80,39 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·34,01² = 3,906 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 76,48 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 81,76 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 1200 mm², y = 259 mm

стенка: A = 3360 mm², y = 134 mm

нижняя полка: A = 3640 mm², y = 7 mm

Центр тяжести

ȳ = (1200·259 + 3360·134 + 3640·7)/8200 = 95,92 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 120·10³/12 + 1200·163,1² = 3,193 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·240³/12 + 3360·38,08² = 2,1 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 260·14³/12 + 3640·88,92² = 2,884 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,193 × 10⁷ + 2,1 × 10⁷ + 2,884 × 10⁷

I_x = 8,176 × 10⁷ mm⁴ = 81,76 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 81,76 × 10⁶ mm⁴

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 36,5 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·1 + 19,5·1 = 36,5 kPa

Ответ

σ = 36,5 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 34,34 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3,5 = 34,34 kPa

Ответ

u = 34,34 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 6,973 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 75 + 25 = 100 kPa ≤ 135 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,04·3/(1 + 1,15)·log₁₀(100/75) = 6,973 mm

Ответ

S = 6,973 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 108,5 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 8 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·8²/0,5 = 108,5 годы

Ответ

t = 108,5 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 257,5 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·5 = 257,5 kN

Ответ

F = 257,5 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,889 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,75·7,5 = 282,8 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 3,906/(3,75·7,5) = 3,889 m

Ответ

y_cp = 3,889 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 60 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(500/0,25)·2²/(2·9,81) = 6,116 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·6,116 = 60000 Pa = 60 kPa

Ответ

Δp = 60 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 215,2 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·300/0,3 = 18

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

12 = (18 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·12/25,4) = 3,045 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,045·0,07069 = 0,2152 m³/s = 215,2 L/s

Ответ

Q = 215,2 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,352 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,4418 m², R = D/4 = 0,1875 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,001^1/2 = 0,7969 m/s

Расход

Q = A·V = 0,4418·0,7969 = 0,352 m³/s

Ответ

Q = 0,352 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,004965 m/m

Геометрия

A = b·y = 2·0,7 = 1,4 m²

P = b + 2y = 2 + 2·0,7 = 3,4 m

R = A/P = 0,4118 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·3,9/(1,4·0,5535) = 0,07046

S = 0,07046² = 0,004965

Ответ

S = 0,004965

Это понижение на 4,965 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 43,16 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·44 = 34,53 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 34,53/0,8 = 43,16 kW

Ответ

P_shaft = 43,16 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 9,895 m

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (6 + 8)·0,1354 = 1,895 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 8 + 1,895 = 9,895 m

Ответ

H = 9,895 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 22255 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,04·20 = 0,8

e^0,8 = 2,226

Будущая стоимость

FV = 10 000·2,226 = €22 255,41

Ответ

FV = €22 255,41

26.Временная стоимость денег

Ответ: I = 1249 €

Ежемесячный платёж

i = 0,0025, N = 48

A = 20 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻⁴⁸) = €442,69

Всего процентов

I = N·A − P = 48·442,7 − 20 000 = €1 248,95

Ответ

I = €1 248,95

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 3446 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 27 000/1,06 = 25 471,70

CF₂/(1 + 0,06)² = 17 000/1,124 = 15 129,94

CF₃/(1 + 0,06)³ = 14 000/1,191 = 11 754,67

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 14 000/1,262 = 11 089,31

Сложите

NPV = €3 445,62

Ответ

NPV = €3 445,62

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 24,03 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(20%) = 567,13

NPV(25%) = −128,00

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 20 + 5·567,13/(567,13 − (−128,00)) = 24,08%

точно: NPV(24,03%) = 0 → IRR = 24,03%

Ответ

IRR = 24,03%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26,83 kg

Стандартизуйте

z = (398,2 − 425)/26,83 = −1

Вероятность

P = Φ(−1) = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 56,6 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,2

z из таблицы

z ≈ −0,84

Возврат к исходным единицам

x = 65 − 0,84·10 = 56,6 баллов

Ответ

x = 56,6 баллов

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil