Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 3,5 m от стены. Найдите вертикальную реакцию R_A в заделке.

L = 5 mP = 65 kN в 3,5 mw = 4 kN/m от 0 до 5 m

R_A = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 4 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 6 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 6 mw₀ = 4 kN/mP = 80 kN в 6 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 20 kN ↓D: 15 kN ↓H: 20 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kNгоризонтальная нагрузка = 10 kN →

F_BC = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 0,5 m от A. Найдите изгибающий момент M_A в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 2 mP = 30 kN в 0,5 mw = 8 kN/m от 0 до 2 m

M_A = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 0 m35 kN @ 12 m10 kN @ 6 m10 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 2,5 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 7 kNa = 2,5 mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 200 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 160 mm. Толщина основания и полок 20 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 200 mmh = 160 mmt = 20 mm

ȳ = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmM = 5 kN·m

σ_низ = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 7,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 6 m имеет C_c = 0,45, C_r = 0,05 и e₀ = 0,8. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 85 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 205 kPa. Новое здание добавляет 140 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 6 mC_c = 0,45C_r = 0,05e₀ = 0,8σ′₀ = 85 kPaσ′_p = 205 kPaΔσ = 140 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 4,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 4 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 90% фактор времени T_v = 0,848. За сколько лет t слой достигнет 90% консолидации?

H = 4,5 mc_v = 4 m²/годU = 90%T_v = 0,848двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 1,2 m/s по трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 50 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,03 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 1,2 m/sL = 500 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) имеет ширину по дну 4 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 4 my = 1 mz = 3n = 0,014S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) с шириной по дну 4 m и заложением откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 27 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 27 m³/sb = 4 my = 1,5 mz = 2n = 0,015

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 66 m. КПД насоса 70%, а КПД приводящего его электродвигателя 94%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 40 L/sH = 66 mη_pump = 70%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 13 m выше. Труба длиной 400 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 40 L/sΔz = 13 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 8

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 22 % годовых с ежеквартальной капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.

r = 22%m = 4

EAR = %

26.Временная стоимость денегСложная

Кредит €150 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 30 лет. Ставка — 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €150 0004,2% / 12N = 360

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €40 000 сегодня. Он приносит €9 000 в конце каждого года в течение 6 лет, а затем может быть продан за €8 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €40 000CF = €9 000S = €8 000n = 6r = 12%

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €50 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €10 000 и растёт на 5 % в год до последнего денежного потока в конце года 6. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €10 000g = 5%n = 6r = 10%

NPV = €

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9512. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9512

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 85 kN

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 4·5 = 20 kN, x̄ = 2,5 m

Равновесие по вертикали

R_A = P + W = 65 + 20 = 85 kN

Ответ

R_A = 85 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 528 kN·m

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·4·6 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 12·4 + 80·6 = 528 kN·m

Ответ

M_A = 528 kN·m

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 23,75 kN (T), BC: 23,75 kN (T), CD: 31,25 kN (T), DE: 31,25 kN (T), FG: 27,5 kN (C), GH: 27,5 kN (C), AF: 33,59 kN (C), HE: 44,19 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 5,303 kN (T), HC: 5,303 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −14,14 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·1 + 10·4 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 10 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,7071 = −14,14 kN

Ответ

F_BC = −14,14 kN (сжатие)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_A = −31 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −30·0,5 = −15 kN·m

w: −8·2²/2 = −16 kN·m

M_A = −15 − 16 = −31 kN·m

Ответ

M_A = −31 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 111,3 kN, R₂ = 73,75 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −120 kN·m, M_C = −37,5, M_D = 5, M_E = −12,5, M_F = −70, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −120 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 32,44 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 7000 N, a = 2500 mm, b = 5500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 7000·2500²·5500²/(3·1,7 × 10¹²·8000) = 32,44 mm

Ответ

δ_P = 32,44 mm

8.Прогиб балки

Ответ: I_req = 96 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·8000⁴/(384·200000·22,22) = 9,6 × 10⁷ mm⁴

I_req = 96 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 96 × 10⁶ mm⁴

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 8,636 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/3000² = 8636 N = 8,636 kN

Ответ

P_cr = 8,636 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 31,58 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Ответ

σ_cr = 31,58 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 56,67 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 200·20 = 4000 mm², y₁ = 10 mm

две полки: A₂ = 2·20·140 = 5600 mm², y₂ = 20 + 140/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (4000·10 + 5600·90)/9600 = 56,67 mm

Ответ

ȳ = 56,67 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 15,93 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

стенка: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·232,5 + 4400·110)/10900 = 183,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·25³/12 + 6500·(232,5 − 183,1)² = 1,623 × 10⁷ mm⁴

стенка: 20·220³/12 + 4400·(110 − 183,1)² = 4,123 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,623 × 10⁷ + 4,123 × 10⁷ = 5,746 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 183,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·183,1/5,746 × 10⁷ = 15,93 MPa

Ответ

σ_низ = 15,93 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 83 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 19·1 = 83 kPa

Ответ

σ = 83 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 53,96 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Ответ

u = 53,96 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 124,4 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 85 + 140 = 225 kPa > 205 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,05·6/(1 + 0,8)·log₁₀(205/85) + 0,45·6/(1 + 0,8)·log₁₀(225/205)

S = 63,72 + 60,64 = 124,4 mm

Ответ

S = 124,4 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 1,073 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 4,5/2 = 2,25 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·2,25²/4 = 1,073 годы

Ответ

t = 1,073 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 147,2 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·6 = 147,2 kN

Ответ

F = 147,2 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,889 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·7,5 = 275,9 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 3,906/(3,75·7,5) = 3,889 m

Ответ

y_cp = 3,889 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 22,02 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,2²/(2·9,81) = 0,07339 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,05)·1,2²/(2·9,81) = 22,02 m

Ответ

h_f = 22,02 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 0,9728 m

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·150/0,3 = 7,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Полная потеря напора

h_f = 7,5·0,06529 = 0,4896 m

h_m = 7,4·0,06529 = 0,4831 m

Δz = h_f + h_m = 0,9728 m

Ответ

Δz = 0,9728 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 10,91 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (4 + 3·1)·1 = 7 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1·√(1 + 3²) = 10,32 m

R = A/P = 0,678 m

Скорость

V = (1/0,014)·0,678^2/3·0,0008^1/2 = 1,559 m/s

Расход

Q = A·V = 7·1,559 = 10,91 m³/s

Ответ

Q = 10,91 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001527 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (4 + 2·1,5)·1,5 = 10,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1,5·√(1 + 2²) = 10,71 m

R = A/P = 0,9806 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·27/(10,5·0,987) = 0,03908

S = 0,03908² = 0,001527

Ответ

S = 0,001527

Это понижение на 1,527 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 39,36 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·66 = 25,9 kW

Мощность на валу

P_shaft = 25,9/0,7 = 37 kW

Электрическая мощность

P_el = 37/0,94 = 39,36 kW

Ответ

P_el = 39,36 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 30,41 m

Скорость

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (58,67 + 8)·0,2611 = 17,41 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 13 + 17,41 = 30,41 m

Ответ

H = 30,41 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: EAR = 23,88 %

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка за период

r/m = 0,22/4 = 0,055

Наращение за один год

EAR = (1 + 0,055)⁴ − 1 = 1,239 − 1 = 23,88%

Ответ

EAR = 23,88%

Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 733,5 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·30 = 360

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,2843

A = 150 000·0,0035/(1 − 0,2843) = €733,53

Ответ

A = €733,53

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 1056 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

9 000·4,111 = 37 002,67

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

8 000/1,974 = 4 053,05

NPV

NPV = −40 000 + 37 002,67 + 4 053,05 = €1 055,71

Ответ

NPV = €1 055,71

28.NPV и IRR

Ответ: NPV = −1290 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,05)/(1,1))⁶ = 0,7564

PV = 10 000/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,7564) = 48 710,19

NPV

NPV = 48 710,19 − 50 000 = −€1 289,81

Ответ

NPV = −€1 289,81

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

29.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,97

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9512)/2 = 0,9756

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9756 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,97

Ответ

z = 1,97

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 241,8 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Обратно к x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Ответ

x = 241,78 g

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil