Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 2,5 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 4 mP = 50 kN в 2,5 mw = 3 kN/m от 0 до 4 m

M_A = kN·m

2.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 6 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 4,5 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 5 mw₀ = 6 kN/mP = 30 kN в 4,5 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

C: 15 kN ↓D: 30 kN ↓G: 25 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 7 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN →

F_AB = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 6 m15 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP = 25 kN в 3,5 mw = 12 kN/m от 0 до 6 m

M_max = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 7 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя равными сосредоточенными силами P в третях пролёта (на расстоянии L/3 от каждой опоры). Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине пролёта δ_max.

P = 21 kNL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 105 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 105 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 240 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 84 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 240 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 60 MPa при растяжении и 100 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 12 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15,5 kN/m³песок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 6,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 7,5 m имеет C_c = 0,5, C_r = 0,02 и e₀ = 0,85. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 95 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 1,5. Новое здание добавляет 170 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 7,5 mC_c = 0,5C_r = 0,02e₀ = 0,85σ′₀ = 95 kPaOCR = 1,5Δσ = 170 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

В лабораторном компрессионном испытании образец глины толщиной 25 mm с дренированием сверху и снизу достигает 50% консолидации за 10 min. В природе та же глина образует слой толщиной 2 m. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. За сколько суток t природный слой достигнет 50% консолидации?

h_lab = 25 mmt_lab = 10 minH = 2 mв природе: двусторонний дренаж

t = сут

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1 m/s по горизонтальной трубе длиной 400 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 200 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Уровень воды в верхнем резервуаре на 37 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 37 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (кирпичная кладка) имеет ширину 3 m. Вода течёт равномерно с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 3 my = 0,9 mn = 0,015S = 0,003

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (чистый грунт) шириной 3,5 m должен пропускать 2,6 m³/s при равномерном течении с глубиной 1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 2,6 m³/sb = 3,5 my = 1 mn = 0,022

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 70 m, а мощность на его валу 22,9 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 20 L/sH = 70 mP_shaft = 22,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 39 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 50 L/sΔz = 39 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €8 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 2,5 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 6,5 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.

C₁ = €8 000g = 2,5%r = 6,5%

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €1 000 в начале каждого года в течение 6 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 7 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 6? Найдите FV.

A = €1 000i = 7%n = 6

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €400 000 сегодня. Он приносит €42 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 2 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €42 000g = 2%r = 10%

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €6 500, €3 500, €3 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 3 500CF₃ = 3 500

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8611. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8611

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = баллов

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 149 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m

Момент относительно стены

M_A = P·a + W·x̄ = 50·2,5 + 12·2 = 149 kN·m

Ответ

M_A = 149 kN·m

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 185 kN·m

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·6·5 = 15 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 15·3,333 + 30·4,5 = 185 kN·m

Ответ

M_A = 185 kN·m

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 27,5 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 42,5 kN (T), DE: 42,5 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 60,1 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 38,89 kN (T), HC: 17,68 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = 11,34 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·7 + 15·4 → C_y = 20,63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 20,63 = −5,625 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/8,062 = 0,4961

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−5,625/0,4961 = 11,34 kN

Ответ

F_AB = 11,34 kN (растяжение)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 27,5 kN, R₂ = 32,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 55, M_C = 110, M_D = 165 kN·m, M_E = 130, M_F = 65, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 165 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 88,96 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·3,5 + 12·6·3

R_B = 303,5/6 = 50,58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 97 − 50,58 = 46,42 kN

Где V = 0?

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 4,417 kN

V(3,5⁺) = 4,417 − 25 = −20,58 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 46,42·3,5 − 12·3,5²/2 = 88,96 kN·m

Ответ

M_max = 88,96 kN·m

Он достигается при x = 3,5 m от A.

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 16,47 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 7000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 7000·3000³/(3·1,12 × 10¹³) = 5,625 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 10,85 mm

Сложите

δ = 5,625 + 10,85 = 16,47 mm

Ответ

δ = 16,47 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 28,06 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 21000 N, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Одна сила в точке L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 14,03 mm

Складываем обе силы

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 28,06 mm

Ответ

δ_max = 28,06 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 2,221 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·5000 = 10000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/10000² = 2221 N = 2,221 kN

Ответ

P_cr = 2,221 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 61,1 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 61,1 mm

Ответ

d = 61,1 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 98,21, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 229,4 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (48000·120 − 706,9·84)/(48000 − 706,9) = 120,5 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·240³/12 + 48000·−0,5381² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−36,54² = 0,9834 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 229,4 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 229,4 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 4,795 kN·m

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Центр тяжести

ȳ = (3200·130 + 1920·60)/5120 = 103,8 mm

верхняя кромка: c = 140 − 103,8 = 36,25 mm

Момент инерции сечения

I = 160·20³/12 + 3200·26,25² + 16·120³/12 + 1920·43,75² = 8,291 × 10⁶ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Положительный момент: верх сжат, низ растянут.

верхняя кромка: M = 100·8,291 × 10⁶/36,25 = 22,87 kN·m

нижняя кромка: M = 60·8,291 × 10⁶/103,8 = 4,795 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 4,795 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 4,795 kN·m

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 139,5 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·4 + 19,5·8 = 218 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·8 = 78,48 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 218 − 78,48 = 139,5 kPa

Ответ

σ′ = 139,5 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 53,96 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Ответ

u = 53,96 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 560,4 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·95 = 142,5 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 95 + 170 = 265 kPa > 142,5 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,02·7,5/(1 + 0,85)·log₁₀(142,5/95) + 0,5·7,5/(1 + 0,85)·log₁₀(265/142,5)

S = 14,28 + 546,1 = 560,4 mm

Ответ

S = 560,4 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 44,44 сут

Пути фильтрации

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 2/2 = 1 m

Пересчитайте время

t = T_v·H_dr²/c_v с одинаковыми T_v и c_v в лаборатории и в природе.

t_field = 10·(1/0,0125)² = 64000 min

t_field = 64000/1440 = 44,44 сут

Ответ

t = 44,44 сут

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 103 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN

Ответ

F = 103 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 45,25 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,5·3 = 45,25 kN

Ответ

F = 45,25 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 14,4 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,25)·1²/(2·9,81) = 1,468 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,468 = 14400 Pa = 14,4 kPa

Ответ

Δp = 14,4 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 162,6 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·150/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

37 = (15 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·37/27,1) = 5,176 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 5,176·0,03142 = 0,1626 m³/s = 162,6 L/s

Ответ

Q = 162,6 L/s

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 6,718 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 3·0,9 = 2,7 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0,9 = 4,8 m

R = A/P = 0,5625 m

Скорость

V = (1/0,015)·0,5625^2/3·0,003^1/2 = 2,488 m/s

Расход

Q = A·V = 2,7·2,488 = 6,718 m³/s

Ответ

Q = 6,718 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,000488 m/m

Геометрия

A = b·y = 3,5·1 = 3,5 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·1 = 5,5 m

R = A/P = 0,6364 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·2,6/(3,5·0,7398) = 0,02209

S = 0,02209² = 0,000488

Ответ

S = 0,000488

Это понижение на 0,488 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 59,97 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·70 = 13,73 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 13,73/22,9 = 59,97%

Ответ

η = 59,97%

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 47,7 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,33 + 8)·0,408 = 8,705 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 39 + 8,705 = 47,7 m

Ответ

H = 47,7 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 200000 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Растущая бессрочная рента

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,065 − 0,025) = 8 000/0,04 = €200 000,00

Ответ

PV = €200 000,00

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 7654 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,07)⁶ − 1)/0,07 = 7,153

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 1 000·7,153·1,07 = €7 654,02

Ответ

FV = €7 654,02

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 125000 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Стоимость денежных потоков

PV = 42 000/(0,1 − 0,02) = 525 000,00

NPV

NPV = 525 000,00 − 400 000 = €125 000,00

Ответ

NPV = €125 000,00

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 19,08 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(15%) = 599,98

NPV(20%) = −127,31

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 15 + 5·599,98/(599,98 − (−127,31)) = 19,12%

точно: NPV(19,08%) = 0 → IRR = 19,08%

Ответ

IRR = 19,08%

29.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,48

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8611)/2 = 0,9306

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9306 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,48

Ответ

z = 1,48

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 48,55 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Обратно к x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 баллов

Ответ

x = 48,55 баллов

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil