Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP₁ = 20 kN в 3 mP₂ = 20 kN в 4 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 6 mP = 35 kN в 3 mw = 10 kN/m от 4 до 6 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 2 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 7 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kNгоризонтальная нагрузка = 20 kN →

F_AB = kN

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

25 kN @ 5 m12 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

50 kN @ 0 m25 kN @ 12 m5 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/300. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

h_req = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 200 mm имеет круглое отверстие диаметром 60 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 140 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mmцентр отверстия: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 25 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 25 kN·m

σ_низ = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 14 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 3,5 m имеет C_c = 0,4, C_r = 0,06 и e₀ = 1,05. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 100 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 190 kPa. Новое здание добавляет 150 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 3,5 mC_c = 0,4C_r = 0,06e₀ = 1,05σ′₀ = 100 kPaσ′_p = 190 kPaΔσ = 150 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 2,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 0,8 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 70% фактор времени T_v = 0,403. За сколько лет t слой достигнет 70% консолидации?

H = 2,5 mc_v = 0,8 m²/годU = 70%T_v = 0,403двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,6 m/s по горизонтальной трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,028 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,6 m/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 150 m с внутренним диаметром 250 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,018) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 5). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (грунт, покрытый травой) имеет ширину по дну 5,5 m и заложение откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 0,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03, уклон дна S = 0,004. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5,5 my = 0,5 mz = 1n = 0,03S = 0,004

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Бетонный коллектор с внутренним диаметром 300 mm (коэффициент Маннинга n = 0,013) при полном заполнении должен обеспечивать самоочищающую скорость 0,75 m/s. Найдите минимальный уклон S (в m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 72% подаёт 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 60 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 60 L/sH = 60 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 120 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 15 m выше. Труба длиной 500 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 150 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 120 L/sΔz = 15 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 5p_tank = 150 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Через 5 лет вам нужно €15 000. Счёт даёт 4,8 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €15 0004,8% / 12n = 5

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €100 в конце каждого месяца в течение 27 лет. Счёт даёт 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €1006% / 12N = 324

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €15 000, €20 000, €22 000, €30 000. Стоимость капитала — 5 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 15 000CF₂ = 20 000CF₃ = 22 000CF₄ = 30 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €9 500, €11 000, €11 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 9 500CF₂ = 11 000CF₃ = 11 500

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,9633. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9633

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 10% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 28 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·3 + 20·4

R_B = 140/5 = 28 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 28 = 12 kN

Ответ

R_B = 28 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 20,83 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3 + 10·2·5

R_B = 205/6 = 34,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 34,17 = 20,83 kN

Ответ

R_A = 20,83 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −15,77 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 → C_y = 26,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26,25 = 8,75 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −8,75/0,5547 = −15,77 kN

Ответ

F_AB = −15,77 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = 7,933 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·7 + 20·3 → C_y = 38,13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 38,13 = −3,125 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/7,616 = 0,3939

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−3,125/0,3939 = 7,933 kN

Ответ

F_AB = 7,933 kN (растяжение)

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 36,17 kN, R₂ = 36,83 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 30,17, M_C = 48,33, M_D = 54,5 kN·m, M_E = 48,67, M_F = 36,83, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 54,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 2 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 76,25 kN, R₂ = 38,75 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −100 kN·m, M_C = −57,5, M_D = −35, M_E = −32,5, M_F = −50, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −100 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 69,75 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 15·5000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 69,75 mm

Ответ

δ = 69,75 mm

8.Прогиб балки

Ответ: h_req = 277,2 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·16,67) = 1,776 × 10⁸ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,776 × 10⁸/100)^1/3 = 277,2 mm

Ответ

h_req = 277,2 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 51,4 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/2000² = 51404 N = 51,4 kN

Ответ

P_cr = 51,4 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 197,4 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Ответ

σ_cr = 197,4 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 94,37 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·100 − 2827·140)/(30000 − 2827) = 95,84 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·200³/12 + 30000·4,162² = 100,5 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·44,16² = 6,151 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 94,37 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 94,37 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 198,7 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

стенка: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·155 + 2520·70)/6120 = 120 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·30³/12 + 3600·(155 − 120)² = 4,68 × 10⁶ mm⁴

стенка: 18·140³/12 + 2520·(70 − 120)² = 1,042 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,68 × 10⁶ + 1,042 × 10⁷ = 1,51 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 120 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·120/1,51 × 10⁷ = 198,7 MPa

Ответ

σ_низ = 198,7 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 107,9 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·11 = 107,9 kPa

Ответ

u = 107,9 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 58,86 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Ответ

u = 58,86 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 110 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 100 + 150 = 250 kPa > 190 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,06·3,5/(1 + 1,05)·log₁₀(190/100) + 0,4·3,5/(1 + 1,05)·log₁₀(250/190)

S = 28,56 + 81,4 = 110 mm

Ответ

S = 110 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 0,7871 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 2,5/2 = 1,25 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·1,25²/0,8 = 0,7871 годы

Ответ

t = 0,7871 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 36,79 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1,5 = 36,79 kN

Ответ

F = 36,79 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,333 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·1,5 = 33,11 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 0,2813/(2,25·1,5) = 2,333 m

Ответ

y_cp = 2,333 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 63,09 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,15)·2,6²/(2·9,81) = 6,432 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·6,432 = 63093 Pa = 63,09 kPa

Ответ

Δp = 63,09 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 3,786 m

Скорость

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·150/0,25 = 10,8

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 10,8 + 6,1)·0,2115 = 3,786 m

Ответ

H = 3,786 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 3,625 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1·0,5)·0,5 = 3 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·0,5·√(1 + 1²) = 6,914 m

R = A/P = 0,4339 m

Скорость

V = (1/0,03)·0,4339^2/3·0,004^1/2 = 1,208 m/s

Расход

Q = A·V = 3·1,208 = 3,625 m³/s

Ответ

Q = 3,625 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,003006 m/m

Гидравлический радиус

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Выразите S из формулы Маннинга

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,1778)² = 0,003006

Ответ

S = 0,003006

Это понижение на 3,006 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 49,05 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·60 = 35,32 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 35,32/0,72 = 49,05 kW

Ответ

P_shaft = 49,05 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 45,22 m

Скорость

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 5)·0,3046 = 14,93 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 15 + 15,29 + 14,93 = 45,22 m

Ответ

H = 45,22 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 11805 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·5 = 60

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,271 = €11 805,07

Ответ

PV = €11 805,07

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 80655 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·27 = 324

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(5,033 − 1)/0,005 = €80 654,69

Ответ

FV = €80 654,69

Сами вы внесли €32 400; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 1112 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 15 000/1,05 = 14 285,71

CF₂/(1 + 0,05)² = 20 000/1,103 = 18 140,59

CF₃/(1 + 0,05)³ = 22 000/1,158 = 19 004,43

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 30 000/1,216 = 24 681,07

Сложите

NPV = €1 111,81

Ответ

NPV = €1 111,81

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 12,98 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 1 367,39

NPV(15%) = −860,11

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·1 367,39/(1 367,39 − (−860,11)) = 13,07%

точно: NPV(12,98%) = 0 → IRR = 12,98%

Ответ

IRR = 12,98%

29.Нормальное распределение

Ответ: z = −1,79

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,9633 = 0,0367

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,0367 внутри таблицы и считайте z.

z = −1,79

Ответ

z = −1,79

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 169 cm

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 178 − 1,28·7 = 169 cm

Ответ

x = 169 cm

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil