Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 10 mP = 80 kN в 5 mw = 5 kN/m от 0 до 10 m

M_A = kN·m

2.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 4 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 8 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A, равномерно распределённой нагрузкой w по всему участку CD. Найдите реакцию R_D подвижной опоры.

AC = 4 mAD = 8 mP = 45 kN в 5 mw = 8 kN/m от 4 до 8 m

R_D = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

F: 20 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 25 kN ↓D: 35 kN ↓F: 20 kN →H: 15 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 6 kN/m от 0 до 6 mx = 0,5 m

V_x = kN

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

55 kN @ 12 m20 kN @ 6 m10 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена сосредоточенной силой P в середине пролёта. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 3 mP = 35 kN в 1,5 m

R_B = kN

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 110 mm и толщиной 14 mm, полную высоту 320 mm и стенку толщиной 8 mm. Найдите его момент сопротивления S_x при изгибе относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 110 mmH = 320 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 250 mm и толщиной 18 mm, полную высоту 400 mm и стенку толщиной 6 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 100 kN·m относительно оси x. Найдите величину нормального напряжения при изгибе σ_j в месте сопряжения стенки с верхней полкой.

B = 250 mmH = 400 mmt_f = 18 mmt_w = 6 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15,5 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 7 m имеет C_c = 0,4, C_r = 0,02 и e₀ = 0,95. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 40 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 130 kPa. Новое здание добавляет 40 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 7 mC_c = 0,4C_r = 0,02e₀ = 0,95σ′₀ = 40 kPaσ′_p = 130 kPaΔσ = 40 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

В лабораторном компрессионном испытании образец глины толщиной 19 mm с дренированием сверху и снизу достигает 50% консолидации за 5 min. В природе та же глина образует слой толщиной 10 m. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. За сколько суток t природный слой достигнет 50% консолидации?

h_lab = 19 mmt_lab = 5 minH = 10 mв природе: двусторонний дренаж

t = сут

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 80 L/s по трубе длиной 150 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 80 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 150 m с внутренним диаметром 250 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,018) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 5). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (грунт, покрытый травой) имеет ширину по дну 2,5 m и заложение откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03, уклон дна S = 0,001. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2,5 my = 1,9 mz = 3n = 0,03S = 0,001

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) с шириной по дну 3 m и заложением откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 11 m³/s при равномерном течении с глубиной 1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 11 m³/sb = 3 my = 1 mz = 1n = 0,015

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 68 m. КПД насоса 78%, а КПД приводящего его электродвигателя 95%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 30 L/sH = 68 mη_pump = 78%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 75 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 5 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 3 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 72%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 75 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 3η = 72%

P_shaft = kW

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €3 000 под номинальную ставку 4,8 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 3 лет.

PV = €3 0004,8% / 4n = 3

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Через 15 лет вам нужно €30 000. Вы откладываете одинаковую сумму в конце каждого месяца на счёт под 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный взнос A.

FV = €30 0005,4% / 12N = 180

A = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €29 000, €31 000, €16 000, €31 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 29 000CF₂ = 31 000CF₃ = 16 000CF₄ = 31 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €28 000, €19 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 000CF₂ = 19 000

IRR = %

29.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 82 и 115,75 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 82x₂ = 115,75

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 650 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m

Момент относительно стены

M_A = P·a + W·x̄ = 80·5 + 50·5 = 650 kN·m

Ответ

M_A = 650 kN·m

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_D = 27,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

W = 8·4 = 32 kN в 2 m от C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 45·1 + 32·2

R_D = 27,25 kN

V_C = 77 − 27,25 = 49,75 kN

Ответ

R_D = 27,25 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 15 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 5 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 5 kN (C), AF: 21,21 kN (C), HE: 7,071 kN (C), BF: 5 kN (C), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 7,071 kN (T), DG: 7,071 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 46,25 kN (T), BC: 47,5 kN (T), CD: 47,5 kN (T), DE: 48,75 kN (T), FG: 46,25 kN (C), GH: 48,75 kN (C), AF: 37,12 kN (C), HE: 68,94 kN (C), BF: 26,25 kN (T), CG: 0, DH: 33,75 kN (T), BG: 1,768 kN (C), DG: 1,768 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = 15 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 18 − 6·0,5 = 15 kN

Ответ

V_x = 15 kN

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 17,5 kN, R₂ = 137,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 15, M_C = −10, M_D = −75, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −220 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 31,75 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 31,75 mm

Ответ

δ_max = 31,75 mm

8.Прогиб балки

Ответ: R_B = 10,94 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Ответ

R_B = 10,94 kN

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 34,88 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN

Ответ

P_cr = 34,88 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 69,94 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/12,5 = 168

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/168² = 69,94 MPa

Ответ

σ_cr = 69,94 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: S_x = 554,7 × 10³ mm³

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 320 − 2·14 = 292 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·320³ − 102·292³)/12

I_x = 8,875 × 10⁷ mm⁴

Момент сопротивления сечения

c = H/2 = 160 mm

S_x = I/c = 8,875 × 10⁷/160

S_x = 554676 mm³ = 554,7 × 10³ mm³

Ответ

S_x = 554,7 × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_j = 51,6 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 400 − 2·18 = 364 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·400³ − 244·364³)/12

I_x = 3,527 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 200 − 18 = 182 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·182/3,527 × 10⁸ = 51,6 MPa

Ответ

σ_j = 51,6 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 73,19 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 19·1 = 83 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 83 − 9,81 = 73,19 kPa

Ответ

σ′ = 73,19 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 66,76 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 15,5·2 + 20,5·2 + 17·2 = 106 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 106 − 39,24 = 66,76 kPa

Ответ

σ′ = 66,76 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 21,61 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 40 + 40 = 80 kPa ≤ 130 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·7/(1 + 0,95)·log₁₀(80/40) = 21,61 mm

Ответ

S = 21,61 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 961,8 сут

Пути фильтрации

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 10/2 = 5 m

Пересчитайте время

t = T_v·H_dr²/c_v с одинаковыми T_v и c_v в лаборатории и в природе.

t_field = 5·(5/0,0095)² = 1,385 × 10⁶ min

t_field = 1,385 × 10⁶/1440 = 961,8 сут

Ответ

t = 961,8 сут

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 55,18 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·2,5 = 55,18 kN

Ответ

F = 55,18 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 84,98 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,75·2,5 = 84,98 kN

Ответ

F = 84,98 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 1,462 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,63²/(2·9,81) = 0,1354 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(150/0,25)·1,63²/(2·9,81) = 1,462 m

Ответ

h_f = 1,462 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 1,409 m

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·150/0,25 = 10,8

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 10,8 + 6,7)·0,07615 = 1,409 m

Ответ

H = 1,409 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 17,22 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·1,9)·1,9 = 15,58 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,9·√(1 + 3²) = 14,52 m

R = A/P = 1,073 m

Скорость

V = (1/0,03)·1,073^2/3·0,001^1/2 = 1,105 m/s

Расход

Q = A·V = 15,58·1,105 = 17,22 m³/s

Ответ

Q = 17,22 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,002811 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·1)·1 = 4 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1·√(1 + 1²) = 5,828 m

R = A/P = 0,6863 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·11/(4·0,778) = 0,05302

S = 0,05302² = 0,002811

Ответ

S = 0,002811

Это понижение на 2,811 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 27,01 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·68 = 20,01 kW

Мощность на валу

P_shaft = 20,01/0,78 = 25,66 kW

Электрическая мощность

P_el = 25,66/0,95 = 27,01 kW

Ответ

P_el = 27,01 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 8,226 kW

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,5 + 3)·0,2905 = 3,05 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 5 + 3,05 = 8,05 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·8,05/0,72 = 8,226 kW

Ответ

P_shaft = 8,226 kW

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 3462 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,048/4 = 0,012

N = m·n = 4·3 = 12

Будущая стоимость

FV = 3 000·(1 + 0,012)¹² = 3 000·1,154 = €3 461,68

Ответ

FV = €3 461,68

26.Временная стоимость денег

Ответ: A = 108,5 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·15 = 180

Взнос

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0,0045/(2,244 − 1) = €108,54

Ответ

A = €108,54

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = 13917 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 29 000/1,08 = 26 851,85

CF₂/(1 + 0,08)² = 31 000/1,166 = 26 577,50

CF₃/(1 + 0,08)³ = 16 000/1,26 = 12 701,32

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 31 000/1,36 = 22 785,93

Сложите

NPV = €13 916,60

Ответ

NPV = €13 916,60

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: IRR = 12,3 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 1 157,02

NPV(15%) = −1 285,44

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·1 157,02/(1 157,02 − (−1 285,44)) = 12,37%

точно: NPV(12,3%) = 0 → IRR = 12,3%

Ответ

IRR = 12,3%

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7381

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2

z₂ = (115,75 − 100)/15 = 1,05

Площадь между

P = Φ(1,05) − Φ(−1,2) = 0,8531 − 0,1151 = 0,7381

Ответ

P = 0,7381

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 187 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Ответ

x = 186,97 cm

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil