Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP₁ = 25 kN в 1,5 mP₂ = 25 kN в 2 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 3 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 10 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 8 m от A и сосредоточенной силой Q на расстоянии 2 m от A. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

AC = 3 mAD = 10 mP = 60 kN в 8 mQ = 35 kN в 2 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 40 kN ↓F: 20 kN ↓F: 40 kN →G: 25 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

50 kN @ 8 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

20 kN @ 6 m55 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 27 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 190 mm и внутренний диаметр d = 158 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 190 mmd = 158 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 10 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmM = 10 kN·m

σ_верх = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите поровое давление u в точке X.

z = 8 mz_w = 5 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 5,5 m имеет C_c = 0,35, C_r = 0,03 и e₀ = 0,8. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 40 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 120 kPa. Новое здание добавляет 75 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 5,5 mC_c = 0,35C_r = 0,03e₀ = 0,8σ′₀ = 40 kPaσ′_p = 120 kPaΔσ = 75 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 4,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 2,5 m²/year. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. Для средней степени консолидации 90% фактор времени T_v = 0,848. За сколько лет t слой достигнет 90% консолидации?

H = 4,5 mc_v = 2,5 m²/годU = 90%T_v = 0,848односторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,4 m/s по горизонтальной трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,4 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 200 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 0,2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) имеет ширину по дну 2 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 2,3 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,002. Найдите расход Q в m³/s.

b = 2 my = 2,3 mz = 2n = 0,012S = 0,002

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (грунт, покрытый травой) шириной 3 m должен пропускать 4,3 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 4,3 m³/sb = 3 my = 0,9 mn = 0,03

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 82% подаёт 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 76 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 40 L/sH = 76 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 9 m выше. Труба длиной 400 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 250 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 20 L/sΔz = 9 mL = 400 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8p_tank = 250 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €1 000 под номинальную ставку 2 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 9 лет.

PV = €1 0002% / 12n = 9

FV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €50 в конце каждого месяца в течение 30 лет. Счёт даёт 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €503% / 12N = 360

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €12 000, €14 000, €28 000. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 12 000CF₂ = 14 000CF₃ = 28 000

NPV = €

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €80 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €8 000 и растёт на 3 % в год до последнего денежного потока в конце года 9. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €8 000g = 3%n = 9r = 8%

NPV = €

29.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 120 mm и стандартным отклонением 0,3 mm; Y независима и нормальна со средним 80 mm и стандартным отклонением 0,4 mm. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 199,6 mm. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,6 mm

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 17,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1,5 + 25·2

R_B = 87,5/5 = 17,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 17,5 = 32,5 kN

Ответ

R_B = 17,5 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 121,4 kN·m

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

ΣM_C = 0: R_D·7 = 60·5

R_D = 42,86 kN

V_C = 60 − 42,86 = 17,14 kN

Часть AC

Сила в шарнире V_C действует на AC вниз (равна по величине и противоположна её действию на CD).

R_A = 35 + 17,14 = 52,14 kN

M_A = 35·2 + 17,14·3 = 121,4 kN·m

Ответ

M_A = 121,4 kN·m

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −14,14 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 30 = 10 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −10/0,7071 = −14,14 kN

Ответ

F_AB = −14,14 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 67,5 kN (T), BC: 75 kN (T), CD: 75 kN (T), DE: 57,5 kN (T), FG: 67,5 kN (C), GH: 57,5 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 81,32 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 57,5 kN (T), BG: 10,61 kN (C), DG: 24,75 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 46,67 kN, R₂ = 63,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 83,33, M_C = 146,7, M_D = 190, M_E = 213,3 kN·m, M_F = 116,7, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 213,3 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 17,5 kN, R₂ = 57,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = 17,5, M_C = 35, M_D = −2,5, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −40 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ = 37,65 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 37,65 mm

Ответ

δ = 37,65 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 12,22 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 27000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·3000³/(48·1,76 × 10¹²) = 8,629 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 3,596 mm

Сложите

δ_max = 8,629 + 3,596 = 12,22 mm

Ответ

δ_max = 12,22 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 136 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1400² = 135959 N = 136 kN

Ответ

P_cr = 136 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 179 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/10 = 105

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Ответ

σ_cr = 179 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 61,78 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 8746 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,338 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(3,338 × 10⁷/8746) = 61,78 mm

Ответ

r = 61,78 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 11,11 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

стенка: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·267,5 + 4680·130)/9180 = 197,4 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·15³/12 + 4500·(267,5 − 197,4)² = 2,22 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·260³/12 + 4680·(130 − 197,4)² = 4,763 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,22 × 10⁷ + 4,763 × 10⁷ = 6,982 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 275 − 197,4 = 77,6 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·77,6/6,982 × 10⁷ = 11,11 MPa

Ответ

σ_верх = 11,11 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 63,5 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·3 + 18,5·1 = 63,5 kPa

Ответ

σ = 63,5 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: u = 29,43 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Ответ

u = 29,43 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 42,04 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 40 + 75 = 115 kPa ≤ 120 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·5,5/(1 + 0,8)·log₁₀(115/40) = 42,04 mm

Ответ

S = 42,04 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 6,869 годы

Путь фильтрации

H_dr = H = 4,5 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·4,5²/2,5 = 6,869 годы

Ответ

t = 6,869 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 165,5 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·7,5 = 165,5 kN

Ответ

F = 165,5 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 92,26 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,75·2,25 = 92,26 kN

Ответ

F = 92,26 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 21,6 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,1)·2,4²/(2·9,81) = 2,202 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·2,202 = 21600 Pa = 21,6 kPa

Ответ

Δp = 21,6 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 1,149 m

Скорость

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·100/0,2 = 11

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Полная потеря напора

h_f = 11·0,08263 = 0,9089 m

h_m = 2,9·0,08263 = 0,2396 m

Δz = h_f + h_m = 1,149 m

Ответ

Δz = 1,149 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 65,14 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2 + 2·2,3)·2,3 = 15,18 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2,3·√(1 + 2²) = 12,29 m

R = A/P = 1,236 m

Скорость

V = (1/0,012)·1,236^2/3·0,002^1/2 = 4,291 m/s

Расход

Q = A·V = 15,18·4,291 = 65,14 m³/s

Ответ

Q = 65,14 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,004916 m/m

Геометрия

A = b·y = 3·0,9 = 2,7 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0,9 = 4,8 m

R = A/P = 0,5625 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·4,3/(2,7·0,6814) = 0,07011

S = 0,07011² = 0,004916

Ответ

S = 0,004916

Это понижение на 4,916 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 36,37 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·76 = 29,82 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 29,82/0,82 = 36,37 kW

Ответ

P_shaft = 36,37 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 56,96 m

Скорость

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0,3305 = 22,47 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 25,48 + 22,47 = 56,96 m

Ответ

H = 56,96 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 1197 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·9 = 108

Будущая стоимость

FV = 1 000·(1 + 0,001667)¹⁰⁸ = 1 000·1,197 = €1 197,04

Ответ

FV = €1 197,04

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 29137 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·30 = 360

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(2,457 − 1)/0,0025 = €29 136,84

Ответ

FV = €29 136,84

Сами вы внесли €18 000; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: NPV = −15586 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 12 000/1,09 = 11 009,17

CF₂/(1 + 0,09)² = 14 000/1,188 = 11 783,52

CF₃/(1 + 0,09)³ = 28 000/1,295 = 21 621,14

Сложите

NPV = €−15 586,17

Ответ

NPV = €−15 586,17

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

28.NPV и IRR

Ответ: NPV = −24434 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,03)/(1,08))⁹ = 0,6527

PV = 8 000/(0,08 − 0,03)·(1 − 0,6527) = 55 566,17

NPV

NPV = 55 566,17 − 80 000 = −€24 433,83

Ответ

NPV = −€24 433,83

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Стандартизуйте

z = (199,6 − 200)/0,5 = −0,8

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil