Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 6 mP₁ = 30 kN в 3,5 mP₂ = 35 kN в 5 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 2,5 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 2 m до свободного конца в точке 4 m. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 3 mAC = 4 mP = 30 kN в 2,5 mw = 12 kN/m от 2 до 4 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 35 kN ↓F: 30 kN ↓F: 40 kN →G: 10 kN ↓H: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mP₁ = 40 kN в 2 mP₂ = 20 kN в 3 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите изгибающий момент M_B на опоре B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5,5 mw = 4 kN/m от 0 до 5,5 mопоры при x = 0 и x = 4 m

M_B = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 3,5 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 23 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 8 mw = 10 kN/m

R_B = kN

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 120 mm и толщиной 12 mm, полную высоту 200 mm и стенку толщиной 14 mm. Найдите его момент сопротивления S_x при изгибе относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 120 mmH = 200 mmt_f = 12 mmt_w = 14 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 10 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmM = 10 kN·m

σ_верх = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 12 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15,5 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите вертикальное эффективное напряжение σ′ в точке X.

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 16 kN/m³песок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 3 m имеет C_c = 0,2, C_r = 0,05 и e₀ = 1,2. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 65 kPa , а коэффициент переуплотнения OCR = 3. Новое здание добавляет 150 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 3 mC_c = 0,2C_r = 0,05e₀ = 1,2σ′₀ = 65 kPaOCR = 3Δσ = 150 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

Слой глины толщиной 6,5 m имеет коэффициент консолидации c_v = 3 m²/year. Слой лежит между двумя слоями песка, поэтому вода отводится вверх и вниз. Для средней степени консолидации 80% фактор времени T_v = 0,567. За сколько лет t слой достигнет 80% консолидации?

H = 6,5 mc_v = 3 m²/годU = 80%T_v = 0,567двусторонний дренаж

t = годы

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 20 L/s по трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 20 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 500 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 750 mm заполнен ровно полностью (течёт как открытое русло, не под напором). Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,003

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (кирпичная кладка) шириной 2 m должен пропускать 1,3 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,6 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 1,3 m³/sb = 2 my = 0,6 mn = 0,015

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 75% подаёт 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 78 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 20 L/sH = 78 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 8 m выше. Труба длиной 400 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 250 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 250 kPa

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €1 500 в конце каждого года в течение 10 лет. Процентная ставка — 10 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €1 500i = 10%n = 10

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €100 в конце каждого месяца в течение 12 лет. Счёт даёт 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €1004,2% / 12N = 144

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €50 000 сегодня и приносит €12 000, €14 500, €17 500, €11 500, €14 000, €21 500 в конце годов с 1-го по 6-й. Стоимость капитала — 10 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 12 000CF₂ = 14 500CF₃ = 17 500CF₄ = 11 500CF₅ = 14 000CF₆ = 21 500

DPB = годы

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €80 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €14 500 и растёт на 2 % в год до последнего денежного потока в конце года 5. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €14 500g = 2%n = 5r = 12%

NPV = €

29.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,3899. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,3899

z =

30.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 46,67 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·3,5 + 35·5

R_B = 280/6 = 46,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 46,67 = 18,33 kN

Ответ

R_B = 46,67 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 49 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 12·2 = 24 kN, x̄ = (2 + 4)/2 = 3 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 30·2,5 + 24·3

R_B = 147/3 = 49 kN

R_A = 54 − 49 = 5 kN

Ответ

R_B = 49 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −10,06 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·2 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 6 = 9 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −9/0,8944 = −10,06 kN

Ответ

F_AB = −10,06 kN (сжатие)

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 59,06 kN (T), BC: 55,62 kN (T), CD: 55,62 kN (T), DE: 44,69 kN (T), FG: 59,06 kN (C), GH: 44,69 kN (C), AF: 31,77 kN (C), HE: 74,48 kN (C), BF: 4,583 kN (C), CG: 0, DH: 49,58 kN (T), BG: 5,729 kN (T), DG: 18,23 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 98 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·2 + 20·3

R_B = 140/10 = 14 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 14 = 46 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·2 = 46·2 = 92 kN·m

под P₂: M = R_B·7 = 14·7 = 98 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 98 kN·m (под P₂)

Ответ

M_max = 98 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_B = −4,5 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·5,5 = 22 kN, приложена в x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·5,5·2,75

R_B = 60,5/4 = 15,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22 − 15,13 = 6,875 kN

Сечение в B, оставляем консольный свес

Нагрузка на свесе, w·a, приложена на расстоянии a/2 от B и создаёт над опорой отрицательный момент (растянуты верхние волокна).

M_B = −w·a²/2 = −4·1,5²/2 = −4,5 kN·m

Ответ

M_B = −4,5 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 71,03 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 23000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 23000·3500²·1500²/(3·5,95 × 10¹¹·5000) = 71,03 mm

Ответ

δ_P = 71,03 mm

8.Прогиб балки

Ответ: R_B = 30 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·8/8 = 30 kN

Ответ

R_B = 30 kN

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 44,29 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1400² = 44295 N = 44,29 kN

Ответ

P_cr = 44,29 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 50,76 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/15 = 116,7

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/116,7² = 50,76 MPa

Ответ

σ_cr = 50,76 MPa

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: S_x = 318,4 × 10³ mm³

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 200 − 2·12 = 176 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·200³ − 106·176³)/12

I_x = 3,184 × 10⁷ mm⁴

Момент сопротивления сечения

c = H/2 = 100 mm

S_x = I/c = 3,184 × 10⁷/100

S_x = 318426 mm³ = 318,4 × 10³ mm³

Ответ

S_x = 318,4 × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 48,69 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

стенка: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·107,5 + 1200·50)/5400 = 94,72 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·15³/12 + 4200·(107,5 − 94,72)² = 764491 mm⁴

стенка: 12·100³/12 + 1200·(50 − 94,72)² = 3,4 × 10⁶ mm⁴

I_x = 764491 + 3,4 × 10⁶ = 4,165 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 115 − 94,72 = 20,28 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·20,28/4,165 × 10⁶ = 48,69 MPa

Ответ

σ_верх = 48,69 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 117,9 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·2 + 18,5·10 = 216 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·10 = 98,1 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 216 − 98,1 = 117,9 kPa

Ответ

σ′ = 117,9 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ′ = 106,1 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·4

σ = 16·3 + 20,5·2 + 19·4 = 165 kPa

Поровое давление

Давление воды растёт с глубиной ниже уровня грунтовых вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Эффективное напряжение

σ′ = σ − u = 165 − 58,86 = 106,1 kPa

Ответ

σ′ = 106,1 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 44,1 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Давление предварительного уплотнения

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·65 = 195 kPa

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 65 + 150 = 215 kPa > 195 kPa

Осадка

Повторное сжатие до σ′_p, первичное сжатие за ним.

S = 0,05·3/(1 + 1,2)·log₁₀(195/65) + 0,2·3/(1 + 1,2)·log₁₀(215/195)

S = 32,53 + 11,56 = 44,1 mm

Ответ

S = 44,1 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 1,996 годы

Путь фильтрации

H_dr = H/2 = 6,5/2 = 3,25 m

Время

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·3,25²/3 = 1,996 годы

Ответ

t = 1,996 годы

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 117,7 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

Ответ

F = 117,7 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: F = 103 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN

Ответ

F = 103 kN

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 4,958 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(100/0,1)·2,546²/(2·9,81) = 4,958 m

Ответ

h_f = 4,958 m

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 5,74 m

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·500/0,25 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Полная потеря напора

h_f = 30·0,1354 = 4,061 m

h_m = 12,4·0,1354 = 1,679 m

Δz = h_f + h_m = 5,74 m

Ответ

Δz = 5,74 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,6098 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,4418 m², R = D/4 = 0,1875 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,003^1/2 = 1,38 m/s

Расход

Q = A·V = 0,4418·1,38 = 0,6098 m³/s

Ответ

Q = 0,6098 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0009765 m/m

Геометрия

A = b·y = 2·0,6 = 1,2 m²

P = b + 2y = 2 + 2·0,6 = 3,2 m

R = A/P = 0,375 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·1,3/(1,2·0,52) = 0,03125

S = 0,03125² = 0,0009765

Ответ

S = 0,0009765

Это понижение на 0,9765 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 20,4 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·78 = 15,3 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 15,3/0,75 = 20,4 kW

Ответ

P_shaft = 20,4 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 42,41 m

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0,1859 = 8,924 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 8 + 25,48 + 8,924 = 42,41 m

Ответ

H = 42,41 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 9217 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3855)/0,1 = 6,145

Приведённая стоимость

PV = 1 500·6,145 = €9 216,85

Ответ

PV = €9 216,85

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 18682 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·12 = 144

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,654 − 1)/0,0035 = €18 682,10

Ответ

FV = €18 682,10

Сами вы внесли €14 400; остальное — проценты.

27.NPV и IRR

Ответ: DPB = 4,702 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 12 000/1,1 = 10 909,09 → Σ = 10 909,09

год 2: 14 500/1,21 = 11 983,47 → Σ = 22 892,56

год 3: 17 500/1,331 = 13 148,01 → Σ = 36 040,57

год 4: 11 500/1,464 = 7 854,65 → Σ = 43 895,23

год 5: 14 000/1,611 = 8 692,90 → Σ = 52 588,12

Доля последнего года

DPB = 4 + 6 104,77/8 692,90 = 4,702

Ответ

DPB = 4,702 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,522 лет).

28.NPV и IRR

Ответ: NPV = −25840 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,02)/(1,12))⁵ = 0,6265

PV = 14 500/(0,12 − 0,02)·(1 − 0,6265) = 54 159,66

NPV

NPV = 54 159,66 − 80 000 = −€25 840,34

Ответ

NPV = −€25 840,34

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

29.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,51

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,3899)/2 = 0,6950

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,6950 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,51

Ответ

z = 0,51

30.Нормальное распределение

Ответ: x = 45,96 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min

Ответ

x = 45,96 min

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil