Подготовка к экзамену FE Civil: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (30) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Эффективное напряжение в грунте

Полное напряжение: σ = Σγ_i·h_i
Поровое давление: u = γ_w·(z − z_w)
Эффективное напряжение: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолидационная осадка

Нормально уплотнённый грунт: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Конечное напряжение: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переуплотнённый грунт, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переуплотнённый грунт, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коэффициент переуплотнения: OCR = σ′_p/σ′₀
Время консолидации: t = T_v·H_dr²/c_v
Путь фильтрации: H_dr = H/2 (двусторонний дренаж), H (односторонний дренаж)
Факторы времени: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

2Тренировочные задачи

1.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 8 mP₁ = 35 kN в 4 mP₂ = 40 kN в 7 m

R_B = kN

2.Опорные реакции балокСложная

L = 5 mP = 15 kN в 1,5 mw = 4 kN/m от 1 до 5 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 15 kN ↓G: 30 kN ↓H: 35 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

4.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 25 kN ↓C: 25 kN ↓F: 15 kN ↓G: 35 kN ↓H: 35 kN ↓H: 35 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mP₁ = 65 kN в 4 mP₂ = 75 kN в 7 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 35 kN в 2,5 mw = 8 kN/m от 0 до 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 0,5 m от A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 19 kNa = 0,5 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1 m от опоры B. Найдите прогиб δ_mid в середине пролёта.

P = 14 kNb = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 115 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 115 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 200 mm и толщиной 22 mm, полную высоту 460 mm и стенку толщиной 8 mm. Найдите его момент сопротивления S_x при изгибе относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 200 mmH = 460 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mmM = 30 kN·m

σ_низ = MPa

13.Эффективное напряжение в грунтеСредняя

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 17 kN/m³песок: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

14.Эффективное напряжение в грунтеСложная

Для показанного грунтового разреза найдите полное вертикальное напряжение σ в точке X.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³песок: γ_d = 15,5 kN/m³песок: γ_sat = 20 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ = kPa

15.Консолидационная осадкаСредняя

Слой переуплотнённой глины толщиной 5 m имеет C_c = 0,3, C_r = 0,06 и e₀ = 0,75. В середине слоя эффективное вертикальное напряжение равно 80 kPa , а давление предварительного уплотнения равно 120 kPa. Новое здание добавляет 10 kPa вертикального напряжения в середине слоя. Найдите осадку первичной консолидации S в mm.

H = 5 mC_c = 0,3C_r = 0,06e₀ = 0,75σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 120 kPaΔσ = 10 kPa

S = mm

16.Консолидационная осадкаСложная

В лабораторном компрессионном испытании образец глины толщиной 19 mm с дренированием сверху и снизу достигает 50% консолидации за 10 min. В природе та же глина образует слой толщиной 9,5 m. Слой лежит на водонепроницаемой скале, а сверху песок, поэтому вода отводится только вверх. За сколько суток t природный слой достигнет 50% консолидации?

h_lab = 19 mmt_lab = 10 minH = 9,5 mв природе: односторонний дренаж

t = сут

17.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 1,1 m/s по горизонтальной трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 1,1 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 200 m с внутренним диаметром 150 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,015) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 2). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Трапецеидальный канал (кирпичная кладка) имеет ширину по дну 4,5 m и заложение откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 1,7 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015, уклон дна S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

b = 4,5 my = 1,7 mz = 1,5n = 0,015S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) с шириной по дну 2,5 m и заложением откосов 3:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 12 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 12 m³/sb = 2,5 my = 0,9 mz = 3n = 0,012

S = m/m

23.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 60% подаёт 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 34 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 50 L/sH = 34 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 75 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 6 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 75 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 6

H = m

25.Временная стоимость денегСредняя

Через 5 лет вам нужно €25 000. Счёт даёт 4 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €25 0004% / 12n = 5

PV = €

26.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €2 000 в начале каждого года в течение 30 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 4 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 30? Найдите FV.

A = €2 000i = 4%n = 30

FV = €

27.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €20 000 сегодня и приносит €7 500 в конце каждого года в течение 6 лет. Стоимость капитала — 5 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 500CF₃ = 7 500CF₄ = 7 500CF₅ = 7 500CF₆ = 7 500

DPB = годы

28.NPV и IRRСложная

Проект стоит €150 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €19 000 и растёт на 5 % в год до последнего денежного потока в конце года 8. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €19 000g = 5%n = 8r = 10%

NPV = €

29.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 120 mm и стандартным отклонением 0,3 mm; Y независима и нормальна со средним 80 mm и стандартным отклонением 0,4 mm. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 199,5 mm. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,5 mm

P =

30.Нормальное распределениеСложная

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3Растворы

1.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 52,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·4 + 40·7

R_B = 420/8 = 52,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 52,5 = 22,5 kN

Ответ

R_B = 52,5 kN

2.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 14,1 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·1,5 + 4·4·3

R_B = 70,5/5 = 14,1 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31 − 14,1 = 16,9 kN

Ответ

R_B = 14,1 kN

3.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 27,5 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 52,5 kN (T), DE: 52,5 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 74,25 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 38,89 kN (T), HC: 3,536 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

4.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 42,5 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 57,5 kN (T), DE: 57,5 kN (T), FG: 115 kN (C), GH: 115 kN (C), AF: 109,6 kN (C), HE: 81,32 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 53,03 kN (T), HC: 31,82 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 246 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 65·4 + 75·7

R_B = 785/10 = 78,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 78,5 = 61,5 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·4 = 61,5·4 = 246 kN·m

под P₂: M = R_B·3 = 78,5·3 = 235,5 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 246 kN·m (под P₁)

Ответ

M_max = 246 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 47,81 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·2,5 + 8·4·2

R_B = 151,5/4 = 37,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 37,88 = 29,13 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 29,13·2,5 − 8·2,5·1,25 = 47,81 kN·m

Ответ

M_x = 47,81 kN·m

7.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 8,467 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 19000 N, a = 500 mm, L = 5000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa³/(3EI) = 19000·500³/(3·9,35 × 10¹⁰) = 8,467 mm

Ответ

δ_P = 8,467 mm

8.Прогиб балки

Ответ: δ_mid = 12,64 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 14000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб в середине пролёта

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 14000·1000·(3·6000² − 4·1000²)/(48·2,4 × 10¹²) = 12,64 mm

Ответ

δ_mid = 12,64 mm

9.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 210,6 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2000² = 210552 N = 210,6 kN

Ответ

P_cr = 210,6 kN

10.Устойчивость колонн

Ответ: d = 48,57 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·115000 = 345000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 48,57 mm

Ответ

d = 48,57 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 103, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: S_x = 2045 × 10³ mm³

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 460 − 2·22 = 416 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·460³ − 192·416³)/12

I_x = 4,704 × 10⁸ mm⁴

Момент сопротивления сечения

c = H/2 = 230 mm

S_x = I/c = 4,704 × 10⁸/230

S_x = 2,045 × 10⁶ mm³ = 2045 × 10³ mm³

Ответ

S_x = 2045 × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 99,89 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

стенка: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·255 + 3840·120)/9240 = 198,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·30³/12 + 5400·(255 − 198,9)² = 1,74 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·240³/12 + 3840·(120 − 198,9)² = 4,233 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,74 × 10⁷ + 4,233 × 10⁷ = 5,974 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 198,9 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·198,9/5,974 × 10⁷ = 99,89 MPa

Ответ

σ_низ = 99,89 MPa

13.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 106,5 kPa

Эффективное напряжение (Терцаги): скелет грунта воспринимает σ′ = σ − u. Полное напряжение σ — это вес всего, что над точкой, Σγ·h, с удельным весом сухого грунта выше уровня грунтовых вод и водонасыщенного — ниже. Ниже уровня грунтовых вод поровое давление гидростатическое: u = γ_w·(глубина ниже уровня грунтовых вод).

Полное напряжение

Сложите вес каждого слоя грунта над X. Выше уровня грунтовых вод берите удельный вес сухого грунта, ниже — водонасыщенного.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·3 + 18,5·3 = 106,5 kPa

Ответ

σ = 106,5 kPa

14.Эффективное напряжение в грунте

Ответ: σ = 123,5 kPa

Полное напряжение

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 15,5·3 + 20·2 + 18,5·2 = 123,5 kPa

Ответ

σ = 123,5 kPa

15.Консолидационная осадка

Ответ: S = 8,769 mm

Первичная консолидация слоя глины толщиной H по эффективному напряжению в середине слоя: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально уплотнённая глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переуплотнённая глина повторно сжимается по C_r до давления предварительного уплотнения σ′_p и следует C_c только выше него. Время: t = T_v·H_dr²/c_v, где путь фильтрации H_dr равен H/2, когда вода может уходить вверх и вниз, и H, когда дренирует только одна сторона.

Сравните с давлением предварительного уплотнения

σ′_f = 80 + 10 = 90 kPa ≤ 120 kPa

Осадка

Глина остаётся на линии повторного сжатия.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·5/(1 + 0,75)·log₁₀(90/80) = 8,769 mm

Ответ

S = 8,769 mm

16.Консолидационная осадка

Ответ: t = 6944 сут

Пути фильтрации

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 9,5 m

Пересчитайте время

t = T_v·H_dr²/c_v с одинаковыми T_v и c_v в лаборатории и в природе.

t_field = 10·(9,5/0,0095)² = 1 × 10⁷ min

t_field = 1 × 10⁷/1440 = 6944 сут

Ответ

t = 6944 сут

17.Гидростатическое давление

Ответ: F = 73,58 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Ответ

F = 73,58 kN

18.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 4,083 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4·2 = 80,44 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 0,6667/(4·2) = 4,083 m

Ответ

y_cp = 4,083 m

19.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 24,2 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,25)·1,1²/(2·9,81) = 2,467 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·2,467 = 24200 Pa = 24,2 kPa

Ответ

Δp = 24,2 kPa

20.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 2,52 m

Скорость

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·200/0,15 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 20 + 3,7)·0,102 = 2,52 m

Ответ

H = 2,52 m

21.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 24,48 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1,5·1,7)·1,7 = 11,98 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,7·√(1 + 1,5²) = 10,63 m

R = A/P = 1,128 m

Скорость

V = (1/0,015)·1,128^2/3·0,0008^1/2 = 2,043 m/s

Расход

Q = A·V = 11,98·2,043 = 24,48 m³/s

Ответ

Q = 24,48 m³/s

22.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001997 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·0,9)·0,9 = 4,68 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·0,9·√(1 + 3²) = 8,192 m

R = A/P = 0,5713 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·12/(4,68·0,6885) = 0,04469

S = 0,04469² = 0,001997

Ответ

S = 0,001997

Это понижение на 1,997 m на километр.

23.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 27,8 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·34 = 16,68 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 16,68/0,6 = 27,8 kW

Ответ

P_shaft = 27,8 kW

24.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 8,856 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 6)·0,119 = 2,856 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 6 + 2,856 = 8,856 m

Ответ

H = 8,856 m

25.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 20475 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·5 = 60

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,221 = €20 475,08

Ответ

PV = €20 475,08

26.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 116657 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,04)³⁰ − 1)/0,04 = 56,08

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 2 000·56,08·1,04 = €116 656,67

Ответ

FV = €116 656,67

27.NPV и IRR

Ответ: DPB = 2,935 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 7 500/1,05 = 7 142,86 → Σ = 7 142,86

год 2: 7 500/1,103 = 6 802,72 → Σ = 13 945,58

год 3: 7 500/1,158 = 6 478,78 → Σ = 20 424,36

Доля последнего года

DPB = 2 + 6 054,42/6 478,78 = 2,935

Ответ

DPB = 2,935 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (2,667 лет).

28.NPV и IRR

Ответ: NPV = −31913 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,05)/(1,1))⁸ = 0,6892

PV = 19 000/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,6892) = 118 087,33

NPV

NPV = 118 087,33 − 150 000 = −€31 912,67

Ответ

NPV = −€31 912,67

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

29.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Стандартизуйте

z = (199,5 − 200)/0,5 = −1

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

30.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. Экзамен FE exam проводит NCEES; эта организация не связана с ExamProblems и не поддерживает его.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil