Механика жидкости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода вытекает из большого открытого резервуара через отверстие с острой кромкой диаметром 20 mm. Уровень воды поддерживается на 4 m выше отверстия, коэффициент расхода равен 0,64. Найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 4 mC_d = 0,64g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Шланг с внутренним диаметром 50 mm работает как сифон, отбирая воду из открытого резервуара. Наивысшая точка C шланга находится на 2,5 m выше поверхности воды, а выход (открытый в атмосферу) — на 4 m ниже поверхности воды. Пренебрегите потерями и примите g = 9,81 m/s². Найдите абсолютное давление p_C в точке C. Атмосферное давление равно 101,3 kPa.

d = 50 mmz_C = +2,5 mz₂ = −4 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 60 L/s по трубе длиной 1000 m с внутренним диаметром 200 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 60 L/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 0,2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 85% подаёт 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 58 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 30 L/sH = 58 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 11 m выше. Труба длиной 500 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 80%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 60 L/sΔz = 11 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6η = 80%

P_shaft = kW

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 485,6 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·9 = 485,6 kN

Ответ

F = 485,6 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 445 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4·9 = 445 kN

Ответ

F = 445 kN

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 1,781 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Идеальная скорость струи

√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Действительный расход

Коэффициент расхода учитывает сжатие струи и трение у кромки.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,64·0,0003142·8,859 = 0,001781 m³/s = 1,781 L/s

Ответ

Q = 1,781 L/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p_C = 37,53 kPa

Скорость в шланге

Поверхность и выход открыты в атмосферу, поэтому члены с давлением сокращаются.

v = √(2g·4) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(8,859²/2 + 9,81·2,5)/1000 = 101,3 − 63,77 = 37,53 kPa

Ответ

p_C = 37,53 kPa

Если это давление упадёт до давления насыщенных паров воды, сифон перестанет работать.

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 18,59 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,91²/(2·9,81) = 0,1859 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(1000/0,2)·1,91²/(2·9,81) = 18,59 m

Ответ

h_f = 18,59 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 1,124 m

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·100/0,25 = 6

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Полная потеря напора

h_f = 6·0,1354 = 0,8123 m

h_m = 2,3·0,1354 = 0,3114 m

Δz = h_f + h_m = 1,124 m

Ответ

Δz = 1,124 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 20,08 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·58 = 17,07 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 17,07/0,85 = 20,08 kW

Ответ

P_shaft = 20,08 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 15,07 kW

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 6)·0,1859 = 9,481 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 11 + 9,481 = 20,48 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·20,48/0,8 = 15,07 kW

Ответ

P_shaft = 15,07 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics