Механика жидкости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Трубка Пито — Прандтля в аэродинамической трубе показывает разность 450 Pa между давлением торможения и статическим давлением. Плотность воздуха 1,2 kg/m³. Найдите скорость воздуха v.

p₀ − p = 450 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Шланг с внутренним диаметром 40 mm работает как сифон, отбирая воду из открытого резервуара. Наивысшая точка C шланга находится на 1 m выше поверхности воды, а выход (открытый в атмосферу) — на 3 m ниже поверхности воды. Пренебрегите потерями и примите g = 9,81 m/s². Найдите абсолютное давление p_C в точке C. Атмосферное давление равно 101,3 kPa.

d = 40 mmz_C = +1 mz₂ = −3 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 1,7 m/s по трубе длиной 1000 m с внутренним диаметром 50 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,025 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 1,7 m/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 400 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,018. Уровень воды в верхнем резервуаре на 25 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 25 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 65% подаёт 25 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 54 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 25 L/sH = 54 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 10 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 30 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 6

H = m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 235,4 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN

Ответ

F = 235,4 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,524 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,5·1 = 30,21 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 0,08333/(3,5·1) = 3,524 m

Ответ

y_cp = 3,524 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 27,39 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли до точки торможения

У носика поток останавливается, поэтому его кинетическая энергия проявляется как дополнительное давление.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·450/1,2) = 27,39 m/s

Ответ

v = 27,39 m/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p_C = 62,06 kPa

Скорость в шланге

Поверхность и выход открыты в атмосферу, поэтому члены с давлением сокращаются.

v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(7,672²/2 + 9,81·1)/1000 = 101,3 − 39,24 = 62,06 kPa

Ответ

p_C = 62,06 kPa

Если это давление упадёт до давления насыщенных паров воды, сифон перестанет работать.

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 73,65 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,7²/(2·9,81) = 0,1473 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,05)·1,7²/(2·9,81) = 73,65 m

Ответ

h_f = 73,65 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 260,6 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·400/0,3 = 24

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

25 = (24 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·25/36,1) = 3,686 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,686·0,07069 = 0,2606 m³/s = 260,6 L/s

Ответ

Q = 260,6 L/s

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 20,37 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·54 = 13,24 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 13,24/0,65 = 20,37 kW

Ответ

P_shaft = 20,37 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 13,82 m

Скорость

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0,1469 = 3,819 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 10 + 3,819 = 13,82 m

Ответ

H = 13,82 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics