Механика жидкости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине
p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку
F = ρg·hc·A
Центр давления
yp = yc + Ic/(ycA)
Прямоугольник
Ic = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность
A1v1 = A2v2
Бернулли
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Расход
Q = A·v
Площадь круга
A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения
ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость
V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери
hm = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K
вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления
Δp = ρ·g·hf
Два открытых резервуара
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу
Pshaft = Ph/ηpump
Электрическая мощность
Pel = Pshaft/ηmotor
Напор насоса
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Потери в системе
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя
затворd = 3 mH = 2 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Гидростатическое давлениеСложная
затворd = 1,5 mH = 2,5 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите глубину ycp центра давления под поверхностью.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Неразрывность и БернуллиСредняя
d1​ = 300 mmd2​ = 150 mm12p1​ − p2​ = 33 kPaQ = ?

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 300 mm и диаметром горловины 150 mm. Давление на входе на 33 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 33 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Неразрывность и БернуллиСложная
H = ?d1​ = 75 mmp1​ = 150 kPad2​ = 25 mm

Сопло фонтана направлено вертикально вверх. Непосредственно под соплом подводящая труба имеет диаметр 75 mm и избыточное давление 150 kPa. Выходной диаметр сопла 25 mm, разностью высот по длине сопла можно пренебречь. Пренебрегая потерями и сопротивлением воздуха, найдите высоту H, на которую струя поднимается над соплом. Примите g = 9,81 m/s².

d1 = 75 mmp1 = 150 kPa (избыточное)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Трение в трубах и потери напораСредняя
V = 1,4 m/sD = 300 mmL = 50 mf = 0,028

Вода течёт со средней скоростью 1,4 m/s по трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 300 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,028 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение hf.

V = 1,4 m/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Трение в трубах и потери напораСложная
K = 10Δz = 39 mL = 150 m, D = 250 mm, f = 0,0184× колено (K = 0,3)

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,018. Уровень воды в верхнем резервуаре на 39 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 39 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Насосы и мощность насосаСредняя
PQ = 60 L/sH = 36 m

При испытании насос подаёт 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 36 m, а мощность на его валу 27,2 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 60 L/sH = 36 mPshaft = 27,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Насосы и мощность насосаСложная
200 kPa (избыточное)PQ = 75 L/sΔz = 14 mL = 300 m, D = 250 mm, f = 0,022, ΣK = 8

Насос перекачивает 75 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 14 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 200 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 75 L/sΔz = 14 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 78,48 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
затворd = 3 mH = 2 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·2 = 78,48 kN

Ответ

F = 78,48 kN
2.Гидростатическое давление

Ответ: ycp = 2,939 m

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
затворd = 1,5 mH = 2,5 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2,75·2,5 = 84,98 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

Ic = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,75 + 1,302/(2,75·2,5) = 2,939 m

Ответ

ycp = 2,939 m
3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 148,3 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v1 = v2·(150/300)² = 0,25·v2

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·33000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,39 m/s
v1 = 2,098 m/s

Расход

Q = A2·v2 = 0,01767·8,39 = 0,1483 m³/s = 148,3 L/s

Ответ

Q = 148,3 L/s
4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: H = 15,48 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорость на выходе

β = 25/75 = 0,3333
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·150000/(1000·0,9877)) = 17,43 m/s

Высота струи

Уравнение Бернулли вдоль струи: в верхней точке скорость равна нулю, а давление снова атмосферное.

H = v2²/(2g) = 17,43²/(2·9,81) = 15,48 m

Ответ

H = 15,48 m
5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: hf = 0,4662 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,4²/(2·9,81) = 0,0999 m

Формула Дарси–Вейсбаха

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,3)·1,4²/(2·9,81) = 0,4662 m

Ответ

hf = 0,4662 m
6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 280,1 L/s

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·150/0,25 = 10,8
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

39 = (10,8 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·39/23,5) = 5,706 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 5,706·0,04909 = 0,2801 m³/s = 280,1 L/s

Ответ

Q = 280,1 L/s
7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 77,9 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·36 = 21,19 kW

КПД

η = Ph/Pshaft = 21,19/27,2 = 77,9%

Ответ

η = 77,9%
8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 38,48 m

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m

Потери напора

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,4 + 8)·0,119 = 4,093 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 14 + 20,39 + 4,093 = 38,48 m

Ответ

H = 38,48 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics