Механика жидкости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 250 mm и диаметром горловины 125 mm. Давление на входе на 56 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmp₁ − p₂ = 56 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 100 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 25 mm, расположенное на 1 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите скорость струи v. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 100 kPa (избыточное)h = 1 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 2,3 m/s по трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 200 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 2,3 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 300 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,025. Уровень воды в верхнем резервуаре на 7 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 7 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 15 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 40 m, а мощность на его валу 7,8 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 15 L/sH = 40 mP_shaft = 7,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 11 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 72%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 30 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 147,2 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·6 = 147,2 kN

Ответ

F = 147,2 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,308 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·4,5 = 143,5 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 0,8438/(3,25·4,5) = 3,308 m

Ответ

y_cp = 3,308 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 134,1 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v₁ = v₂·(125/250)² = 0,25·v₂

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·56000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,93 m/s

v₁ = 2,733 m/s

Расход

Q = A₂·v₂ = 0,01227·10,93 = 0,1341 m³/s = 134,1 L/s

Ответ

Q = 134,1 L/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 14,82 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(100000/1000 + 9,81·1)) = 14,82 m/s

Ответ

v = 14,82 m/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 2,966 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,3²/(2·9,81) = 0,2696 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,2)·2,3²/(2·9,81) = 2,966 m

Ответ

h_f = 2,966 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 98,51 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,025·300/0,25 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

7 = (30 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·7/34,1) = 2,007 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 2,007·0,04909 = 0,09851 m³/s = 98,51 L/s

Ответ

Q = 98,51 L/s

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 75,46 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·40 = 5,886 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 5,886/7,8 = 75,46%

Ответ

η = 75,46%

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 6,578 kW

Скорость

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,67 + 8)·0,1469 = 5,092 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 11 + 5,092 = 16,09 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,03·16,09/0,72 = 6,578 kW

Ответ

P_shaft = 6,578 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics