Механика жидкости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Трубка Пито — Прандтля в аэродинамической трубе показывает разность 900 Pa между давлением торможения и статическим давлением. Плотность воздуха 1,2 kg/m³. Найдите скорость воздуха v.

p₀ − p = 900 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 150 mm до 75 mm и поднимается на 7 m. В сечении 1 давление 400 kPa, а скорость 0,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 400 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 25 L/s по трубе длиной 200 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,03 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 25 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 15 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 34 m. КПД насоса 80%, а КПД приводящего его электродвигателя 88%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 15 L/sH = 34 mη_pump = 80%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 10 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 72%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 20 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 5η = 72%

P_shaft = kW

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 44,15 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1 = 44,15 kN

Ответ

F = 44,15 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,25 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3·6 = 155,4 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 4,5/(3·6) = 3,25 m

Ответ

y_cp = 3,25 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 38,73 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли до точки торможения

У носика поток останавливается, поэтому его кинетическая энергия проявляется как дополнительное давление.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·900/1,2) = 38,73 m/s

Ответ

v = 38,73 m/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 329,5 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(150/75)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 2²)/1000 = −1,875 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 400 + (−1,875) − 68,67 = 329,5 kPa

Ответ

p₂ = 329,5 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 4,08 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,415²/(2·9,81) = 0,102 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(200/0,15)·1,415²/(2·9,81) = 4,08 m

Ответ

h_f = 4,08 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 3,472 m

Скорость

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·200/0,15 = 29,33

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Полная потеря напора

h_f = 29,33·0,102 = 2,992 m

h_m = 4,7·0,102 = 0,4794 m

Δz = h_f + h_m = 3,472 m

Ответ

Δz = 3,472 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 7,107 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·34 = 5,003 kW

Мощность на валу

P_shaft = 5,003/0,8 = 6,254 kW

Электрическая мощность

P_el = 6,254/0,88 = 7,107 kW

Ответ

P_el = 7,107 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 6,147 kW

Скорость

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 5)·0,3305 = 12,56 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 10 + 12,56 = 22,56 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·22,56/0,72 = 6,147 kW

Ответ

P_shaft = 6,147 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics