Механика жидкости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 150 mm и диаметром горловины 100 mm. Давление на входе на 60 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 60 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 150 mm до 75 mm и поднимается на 9 m. В сечении 1 давление 390 kPa, а скорость 1 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 390 kPav₁ = 1 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 2,5 m/s по трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 200 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,028 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 2,5 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 300 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,025. Уровень воды в верхнем резервуаре на 16 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 16 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 76 m. КПД насоса 82%, а КПД приводящего его электродвигателя 94%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 80 L/sH = 76 mη_pump = 82%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 16 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 40 L/sΔz = 16 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 235,4 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN

Ответ

F = 235,4 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 4,083 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·4 = 157 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 1,333/(4·4) = 4,083 m

Ответ

y_cp = 4,083 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 96,04 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v₁ = v₂·(100/150)² = 0,4444·v₂

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·60000/(1000·(1 − 0,1975))) = 12,23 m/s

v₁ = 5,435 m/s

Расход

Q = A₂·v₂ = 0,007854·12,23 = 0,09604 m³/s = 96,04 L/s

Ответ

Q = 96,04 L/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 294,2 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 390 + (−7,5) − 88,29 = 294,2 kPa

Ответ

p₂ = 294,2 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 22,3 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,5²/(2·9,81) = 0,3186 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(500/0,2)·2,5²/(2·9,81) = 22,3 m

Ответ

h_f = 22,3 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 204 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,025·300/0,3 = 25

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

16 = (25 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·16/37,7) = 2,886 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 2,886·0,07069 = 0,204 m³/s = 204 L/s

Ответ

Q = 204 L/s

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 77,38 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·76 = 59,64 kW

Мощность на валу

P_shaft = 59,64/0,82 = 72,74 kW

Электрическая мощность

P_el = 72,74/0,94 = 77,38 kW

Ответ

P_el = 77,38 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 26,79 m

Скорость

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33,33 + 8)·0,2611 = 10,79 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 16 + 10,79 = 26,79 m

Ответ

H = 26,79 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics