Механика жидкости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода с расходом 34 L/s течёт по горизонтальной трубе, сужающейся с 150 mm до 100 mm. Давление в узком сечении равно 290 kPa. Пренебрегая потерями, найдите давление p₁ в широком сечении.

Q = 34 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 290 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 60 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 40 mm, расположенное на 2 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите скорость струи v. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 60 kPa (избыточное)h = 2 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 3 L/s по трубе длиной 150 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,028 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 3 L/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 18 m, а мощность на его валу 17,2 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 80 L/sH = 18 mP_shaft = 17,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 20 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 350 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 40 L/sΔz = 20 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 6p_tank = 350 kPa

H = m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 58,86 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·4 = 58,86 kN

Ответ

F = 58,86 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 166,9 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·4,5 = 166,9 kN

Ответ

F = 166,9 kN

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₁ = 297,5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорости

v₁ = Q/A₁ = 0,034/0,01767 = 1,924 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,034/0,007854 = 4,329 m/s

Бернулли

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 290 + ½·1000·(4,329² − 1,924²)/1000 = 290 + 7,519 = 297,5 kPa

Ответ

p₁ = 297,5 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 12,62 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(60000/1000 + 9,81·2)) = 12,62 m/s

Ответ

v = 12,62 m/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 1,316 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,003/0,004418 = 0,6791 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(150/0,075)·0,6791²/(2·9,81) = 1,316 m

Ответ

h_f = 1,316 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 6,134 m

Скорость

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·100/0,3 = 7,333

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Полная потеря напора

h_f = 7,333·0,408 = 2,992 m

h_m = 7,7·0,408 = 3,142 m

Δz = h_f + h_m = 6,134 m

Ответ

Δz = 6,134 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 82,13 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·18 = 14,13 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 14,13/17,2 = 82,13%

Ответ

η = 82,13%

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 64,21 m

Скорость

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,67 + 6)·0,2611 = 8,531 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 20 + 35,68 + 8,531 = 64,21 m

Ответ

H = 64,21 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics