Механика жидкости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 150 mm до 75 mm. В широкой части давление 190 kPa, а скорость 1,25 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 190 kPav₁ = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Шланг с внутренним диаметром 25 mm работает как сифон, отбирая воду из открытого резервуара. Наивысшая точка C шланга находится на 2 m выше поверхности воды, а выход (открытый в атмосферу) — на 3 m ниже поверхности воды. Пренебрегите потерями и примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q.

d = 25 mmz_C = +2 mz₂ = −3 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 4 L/s по трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 50 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,028 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 4 L/sL = 500 mD = 50 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 300 m с внутренним диаметром 200 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,015) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 10). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 65% подаёт 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 72 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 80 L/sH = 72 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 7 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,018; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 200 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 30 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 6p_tank = 200 kPa

H = m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 242,8 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·4,5 = 242,8 kN

Ответ

F = 242,8 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 51,5 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·3 = 51,5 kN

Ответ

F = 51,5 kN

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 178,3 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(150/75)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 5²)/1000 = −11,72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 190 + (−11,72) = 178,3 kPa

Ответ

p₂ = 178,3 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 3,766 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорость в шланге

Поверхность и выход открыты в атмосферу, поэтому члены с давлением сокращаются.

v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Расход

Q = A·v = 0,0004909·7,672 = 0,003766 m³/s = 3,766 L/s

Ответ

Q = 3,766 L/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 59,23 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,004/0,001963 = 2,037 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(500/0,05)·2,037²/(2·9,81) = 59,23 m

Ответ

h_f = 59,23 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 2,884 m

Скорость

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·300/0,2 = 22,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 22,5 + 11,4)·0,08263 = 2,884 m

Ответ

H = 2,884 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 86,93 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·72 = 56,51 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 56,51/0,65 = 86,93 kW

Ответ

P_shaft = 86,93 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 33,56 m

Скорость

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 6)·0,1469 = 6,169 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 20,39 + 6,169 = 33,56 m

Ответ

H = 33,56 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics