Механика жидкости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине
p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку
F = ρg·hc·A
Центр давления
yp = yc + Ic/(ycA)
Прямоугольник
Ic = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность
A1v1 = A2v2
Бернулли
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Расход
Q = A·v
Площадь круга
A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения
ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость
V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери
hm = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K
вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления
Δp = ρ·g·hf
Два открытых резервуара
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу
Pshaft = Ph/ηpump
Электрическая мощность
Pel = Pshaft/ηmotor
Напор насоса
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Потери в системе
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя
затворd = 1 mH = 2 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Гидростатическое давлениеСложная
затворd = 1,5 mH = 3 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите глубину ycp центра давления под поверхностью.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Неразрывность и БернуллиСредняя
d1​ = 100 mmd2​ = 60 mm12p1​ − p2​ = 23 kPaQ = ?

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 100 mm и диаметром горловины 60 mm. Давление на входе на 23 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 23 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Неразрывность и БернуллиСложная
C211,5 m3 md = 40 mmpC​ = ?

Шланг с внутренним диаметром 40 mm работает как сифон, отбирая воду из открытого резервуара. Наивысшая точка C шланга находится на 1,5 m выше поверхности воды, а выход (открытый в атмосферу) — на 3 m ниже поверхности воды. Пренебрегите потерями и примите g = 9,81 m/s². Найдите абсолютное давление pC в точке C. Атмосферное давление равно 101,3 kPa.

d = 40 mmzC = +1,5 mz2 = −3 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Трение в трубах и потери напораСредняя
Q = 12 L/sD = 150 mmL = 1000 mf = 0,018

Вода течёт с расходом 12 L/s по трубе длиной 1000 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение hf.

Q = 12 L/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Трение в трубах и потери напораСложная
K = 5Δz = 26 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0,0222× колено (K = 0,3)

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Уровень воды в верхнем резервуаре на 26 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 26 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Насосы и мощность насосаСредняя
PQ = 80 L/sH = 64 m

При испытании насос подаёт 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 64 m, а мощность на его валу 61,3 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 80 L/sH = 64 mPshaft = 61,3 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Насосы и мощность насосаСложная
PQ = 80 L/sΔz = 16 mL = 400 m, D = 250 mm, f = 0,02, ΣK = 8

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 16 m выше. Труба длиной 400 m имеет внутренний диаметр 250 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,02; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 85%. Найдите мощность на валу Pshaft в kW.

Q = 80 L/sΔz = 16 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8η = 85%
Pshaft = kW

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 117,7 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
затворd = 1 mH = 2 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

Ответ

F = 117,7 kN
2.Гидростатическое давление

Ответ: ycp = 3,25 m

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
затворd = 1,5 mH = 3 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3·3 = 90,5 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 2,25/(3·3) = 3,25 m

Ответ

ycp = 3,25 m
3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 20,55 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v1 = v2·(60/100)² = 0,36·v2

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·23000/(1000·(1 − 0,1296))) = 7,27 m/s
v1 = 2,617 m/s

Расход

Q = A2·v2 = 0,002827·7,27 = 0,02055 m³/s = 20,55 L/s

Ответ

Q = 20,55 L/s
4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: pC = 57,15 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорость в шланге

Поверхность и выход открыты в атмосферу, поэтому члены с давлением сокращаются.

v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до C

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(7,672²/2 + 9,81·1,5)/1000 = 101,3 − 44,15 = 57,15 kPa

Ответ

pC = 57,15 kPa

Если это давление упадёт до давления насыщенных паров воды, сифон перестанет работать.

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: hf = 2,82 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,012/0,01767 = 0,6791 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m

Формула Дарси–Вейсбаха

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(1000/0,15)·0,6791²/(2·9,81) = 2,82 m

Ответ

hf = 2,82 m
6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 85,55 L/s

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

26 = (14,67 + 7,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·26/21,77) = 4,841 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 4,841·0,01767 = 0,08555 m³/s = 85,55 L/s

Ответ

Q = 85,55 L/s
7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 81,94 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·64 = 50,23 kW

КПД

η = Ph/Pshaft = 50,23/61,3 = 81,94%

Ответ

η = 81,94%
8.Насосы и мощность насоса

Ответ: Pshaft = 19,77 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s
V²/(2g) = 0,1354 m

Потери напора

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (32 + 8)·0,1354 = 5,415 m

Напор насоса

H = Δz + hL = 16 + 5,415 = 21,42 m

Мощность на валу

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·21,42/0,85 = 19,77 kW

Ответ

Pshaft = 19,77 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics