Механика жидкости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 0,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Трубка Пито — Прандтля в водопроводной трубе показывает разность 12 kPa между давлением торможения и статическим давлением. Найдите скорость воды v у носика трубки.

p₀ − p = 12 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 70 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 50 mm, расположенное на 1 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите скорость струи v. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 70 kPa (избыточное)h = 1 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт со скоростью 2,4 m/s по горизонтальной трубе длиной 50 m с внутренним диаметром 250 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите перепад давления Δp на трубе в kPa.

V = 2,4 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 100 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 22 m. КПД насоса 75%, а КПД приводящего его электродвигателя 92%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 30 L/sH = 22 mη_pump = 75%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 11 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 75%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 80 L/sΔz = 11 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 5η = 75%

P_shaft = kW

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 88,29 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·4,5 = 88,29 kN

Ответ

F = 88,29 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 1,083 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1·2 = 17,27 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0,1667/(1·2) = 1,083 m

Ответ

y_cp = 1,083 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 4,899 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли до точки торможения

У носика поток останавливается, поэтому его кинетическая энергия проявляется как дополнительное давление.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·12000/1000) = 4,899 m/s

Ответ

v = 4,899 m/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 12,63 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(70000/1000 + 9,81·1)) = 12,63 m/s

Ответ

v = 12,63 m/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δp = 10,37 kPa

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Потеря напора

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(50/0,25)·2,4²/(2·9,81) = 1,057 m

Перепад давления

Труба горизонтальна, а скорость не меняется, поэтому уравнение энергии сводится к Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,057 = 10368 Pa = 10,37 kPa

Ответ

Δp = 10,37 kPa

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 17,76 m

Скорость

V = Q/A = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·150/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Полная потеря напора

h_f = 30·0,5164 = 15,49 m

h_m = 4,4·0,5164 = 2,272 m

Δz = h_f + h_m = 17,76 m

Ответ

Δz = 17,76 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 9,383 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·22 = 6,475 kW

Мощность на валу

P_shaft = 6,475/0,75 = 8,633 kW

Электрическая мощность

P_el = 8,633/0,92 = 9,383 kW

Ответ

P_el = 9,383 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 24,65 kW

Скорость

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 5)·0,3305 = 12,56 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 11 + 12,56 = 23,56 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·23,56/0,75 = 24,65 kW

Ответ

P_shaft = 24,65 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics