Механика жидкости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 150 mm до 100 mm. В широкой части давление 360 kPa, а скорость 2,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 360 kPav₁ = 2,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

По горизонтальному расходомеру Вентури (вход 150 mm, горловина 100 mm) течёт вода. Ртутный U-образный манометр, подключённый между входом и горловиной, показывает разность уровней 270 mm. Коэффициент расхода равен 0,99. Найдите расход Q. Примите ρ = 1000 kg/m³ для воды, 13 600 kg/m³ для ртути и g = 9,81 m/s².

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmΔh = 270 mmC_d = 0,99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 15 L/s по трубе длиной 150 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 15 L/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 200 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,022. Уровень воды в верхнем резервуаре на 13 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 0,2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 13 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос с КПД 78% подаёт 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 12 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите необходимую мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 60 L/sH = 12 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 20 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 11 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 4 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 70%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 20 L/sΔz = 11 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 4η = 70%

P_shaft = kW

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 183,9 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·5 = 183,9 kN

Ответ

F = 183,9 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 1,556 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,5·1,5 = 22,62 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 0,125/(1,5·1,5) = 1,556 m

Ответ

y_cp = 1,556 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 344,6 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(150/100)² = 6,188 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 6,188²)/1000 = −15,36 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 360 + (−15,36) = 344,6 kPa

Ответ

p₂ = 344,6 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 70,91 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Разность давлений по манометру

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,27 = 33374 Pa

Скорость в горловине

Уравнения неразрывности и Бернулли вместе дают идеальную скорость в горловине.

β = 100/150 = 0,6667

v₂ = √(2·33374/(1000·(1 − 0,1975))) = 9,12 m/s

Действительный расход

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,99·0,007854·9,12 = 0,07091 m³/s = 70,91 L/s

Ответ

Q = 70,91 L/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 25,85 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,015/0,004418 = 3,395 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 3,395²/(2·9,81) = 0,5876 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(150/0,075)·3,395²/(2·9,81) = 25,85 m

Ответ

h_f = 25,85 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 115,7 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·150/0,2 = 16,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

13 = (16,5 + 2,3)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·13/18,8) = 3,683 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,683·0,03142 = 0,1157 m³/s = 115,7 L/s

Ответ

Q = 115,7 L/s

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 9,055 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·12 = 7,063 kW

Мощность на валу

P_shaft = P_h/η = 7,063/0,78 = 9,055 kW

Ответ

P_shaft = 9,055 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 4,843 kW

Скорость

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 4)·0,3305 = 6,28 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 11 + 6,28 = 17,28 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·17,28/0,7 = 4,843 kW

Ответ

P_shaft = 4,843 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics