Механика жидкости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 75 mm до 40 mm. В широкой части давление 110 kPa, а скорость 1,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 110 kPav₁ = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

По горизонтальному расходомеру Вентури (вход 150 mm, горловина 100 mm) течёт вода. Ртутный U-образный манометр, подключённый между входом и горловиной, показывает разность уровней 110 mm. Коэффициент расхода равен 0,95. Найдите расход Q. Примите ρ = 1000 kg/m³ для воды, 13 600 kg/m³ для ртути и g = 9,81 m/s².

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmΔh = 110 mmC_d = 0,95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 6 L/s по трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,03 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 6 L/sL = 100 mD = 75 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Труба длиной 100 m с внутренним диаметром 250 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,022) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 0,2). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2

H = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 150 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 64 m, а мощность на его валу 144,9 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 150 L/sH = 64 mP_shaft = 144,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 10 m выше. Труба длиной 200 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5

H = m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 132,4 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN

Ответ

F = 132,4 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,8 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,75·2,25 = 104,3 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 0,4219/(3,75·2,25) = 3,8 m

Ответ

y_cp = 3,8 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 92,61 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(75/40)² = 6,152 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 6,152²)/1000 = −17,39 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−17,39) = 92,61 kPa

Ответ

p₂ = 92,61 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 43,43 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Разность давлений по манометру

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,11 = 13597 Pa

Скорость в горловине

Уравнения неразрывности и Бернулли вместе дают идеальную скорость в горловине.

β = 100/150 = 0,6667

v₂ = √(2·13597/(1000·(1 − 0,1975))) = 5,821 m/s

Действительный расход

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,95·0,007854·5,821 = 0,04343 m³/s = 43,43 L/s

Ответ

Q = 43,43 L/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 3,76 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,006/0,004418 = 1,358 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,358²/(2·9,81) = 0,09401 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,075)·1,358²/(2·9,81) = 3,76 m

Ответ

h_f = 3,76 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: H = 2,348 m

Скорость

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·100/0,25 = 8,8

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 = 1,3

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 8,8 + 1,3)·0,2115 = 2,348 m

Ответ

H = 2,348 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 64,99 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·64 = 94,18 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 94,18/144,9 = 64,99%

Ответ

η = 64,99%

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 12,58 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,1291 = 2,582 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 10 + 2,582 = 12,58 m

Ответ

H = 12,58 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics