Механика жидкости: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине
p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку
F = ρg·hc·A
Центр давления
yp = yc + Ic/(ycA)
Прямоугольник
Ic = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность
A1v1 = A2v2
Бернулли
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Расход
Q = A·v
Площадь круга
A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения
ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость
V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери
hm = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K
вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления
Δp = ρ·g·hf
Два открытых резервуара
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу
Pshaft = Ph/ηpump
Электрическая мощность
Pel = Pshaft/ηmotor
Напор насоса
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Потери в системе
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя
затворd = 2,5 mH = 3 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Гидростатическое давлениеСложная
затворd = 2,5 mH = 2 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Неразрывность и БернуллиСредняя
Q = ?d = 20 mm, Cd​ = 0,62h = 5 m

Вода вытекает из большого открытого резервуара через отверстие с острой кромкой диаметром 20 mm. Уровень воды поддерживается на 5 m выше отверстия, коэффициент расхода равен 0,62. Найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 5 mCd = 0,62g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Неразрывность и БернуллиСложная
pair​ = 150 kPaQ = ?d = 20 mmh = 3 m

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 150 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 20 mm, расположенное на 3 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

pair = 150 kPa (избыточное)h = 3 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Трение в трубах и потери напораСредняя
Q = 6 L/sD = 100 mmL = 400 mf = 0,03

Вода течёт с расходом 6 L/s по трубе длиной 400 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,03 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение hf.

Q = 6 L/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Трение в трубах и потери напораСложная
K = 0,2Δz = 10 mL = 150 m, D = 150 mm, f = 0,0153× колено (K = 0,3)

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Уровень воды в верхнем резервуаре на 10 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 0,2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 10 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Насосы и мощность насосаСредняя
PQ = 10 L/sH = 70 m

При испытании насос подаёт 10 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 70 m, а мощность на его валу 8,6 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 10 L/sH = 70 mPshaft = 8,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Насосы и мощность насосаСложная
200 kPa (избыточное)PQ = 50 L/sΔz = 7 mL = 400 m, D = 150 mm, f = 0,025, ΣK = 5

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 7 m выше. Труба длиной 400 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 200 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 5ptank = 200 kPa
H = m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 117,7 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
затворd = 2,5 mH = 3 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Ответ

F = 117,7 kN
2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 120,9 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
затворd = 2,5 mH = 2 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3,5·4 = 120,9 kN

Ответ

F = 120,9 kN
3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 1,929 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Идеальная скорость струи

√(2gh) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s

Действительный расход

Коэффициент расхода учитывает сжатие струи и трение у кромки.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,62·0,0003142·9,905 = 0,001929 m³/s = 1,929 L/s

Ответ

Q = 1,929 L/s
4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 5,951 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(150000/1000 + 9,81·3)) = 18,94 m/s

Расход

Q = A·v = 0,0003142·18,94 = 0,005951 m³/s = 5,951 L/s

Ответ

Q = 5,951 L/s
5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: hf = 3,569 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,006/0,007854 = 0,7639 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 0,7639²/(2·9,81) = 0,02975 m

Формула Дарси–Вейсбаха

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(400/0,1)·0,7639²/(2·9,81) = 3,569 m

Ответ

hf = 3,569 m
6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 59 L/s

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·150/0,15 = 15
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

10 = (15 + 2,6)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·10/17,6) = 3,339 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,339·0,01767 = 0,059 m³/s = 59 L/s

Ответ

Q = 59 L/s
7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 79,85 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·70 = 6,867 kW

КПД

η = Ph/Pshaft = 6,867/8,6 = 79,85%

Ответ

η = 79,85%
8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 56,63 m

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Потери напора

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66,67 + 5)·0,408 = 29,24 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 20,39 + 29,24 = 56,63 m

Ответ

H = 56,63 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics