Теплопроводность
- Закон Фурье
- Q̇ = kAΔT/L
- Термическое сопротивление теплопроводности
- R = L/(kA)
- Термическое сопротивление теплоотдачи
- R = 1/(hA)
- Последовательные сопротивления
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Коэффициент теплопередачи U
- U = 1/(ΣR·A)
Тепломассообмен: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (4) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Теплообменники (LMTD)
- Тепловая нагрузка
- Q = U·A·ΔTlm
- Среднелогарифмический температурный напор
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Баланс потоков
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Тренировочные задачи
1.ТеплопроводностьСредняя
Стена состоит из слоя 200 mm (древесина) и слоя 150 mm (бетон), её площадь 15 m². Наружные поверхности имеют 19 °C и -12 °C. Найдите тепловой поток Q̇ через стену.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 19 °CT3 = -12 °C
Q̇ = W
2.ТеплопроводностьСложная
Стена из 200 mm (кирпич) и 150 mm (минеральная вата) отделяет помещение при 20 °C от наружного воздуха при 2 °C. Коэффициенты теплоотдачи — 7,7 W/(m²·K) внутри и 30 W/(m²·K) снаружи, площадь стены 15 m². Найдите коэффициент теплопередачи U стены.
L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 2 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообменники (LMTD)Средняя
Прямоточный теплообменник передаёт 240 kW. Горячий теплоноситель охлаждается с 90 до 70 °C, а холодный нагревается с 30 до 60 °C. Коэффициент теплопередачи 800 W/(m²·K). Найдите необходимую площадь теплообмена A.
Q̇ = 240 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 90 → 70 °CTc: 30 → 60 °C
A = m²
4.Теплообменники (LMTD)Сложная
В противоточном теплообменнике у обоих потоков одинаковая теплоёмкость потока ṁ·cp = 0,5 kW/K. Горячий поток входит при 160 °C, а холодный — при 15 °C. Теплообменник имеет A = 4 m² и U = 300 W/(m²·K). Найдите температуру горячего потока на выходе Th,out.
Ch = Cc = 0,5 kW/KTh,in = 160 °CTc,in = 15 °CA = 4 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Растворы
1.Теплопроводность
Ответ: Q̇ = 362,3 W
Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.
Сопротивления слоёв
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·15) = 0,07843 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·15) = 0,007143 K/W
Тепловой поток
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,08557 = 362,3 W
Ответ
Q̇ = 362,3 W
2.Теплопроводность
Ответ: U = 0,2386 W/(m²·K)
Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.
Последовательные сопротивления
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·15) = 0,01852 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·15) = 0,25 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,2794 K/W
Коэффициент теплопередачи
U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,2794) = 0,2386 W/(m²·K)
Ответ
U = 0,2386 W/(m²·K)
3.Теплообменники (LMTD)
Ответ: A = 10,75 m²
Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.
Разности температур на концах
При прямотоке оба входа на одном конце, а оба выхода — на другом.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 90 − 30 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 60 = 10 K
Среднелогарифмическая разность температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 10)/ln(60/10) = 27,91 K
Площадь
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 240000/(800·27,91) = 10,75 m²
Ответ
A = 10,75 m²
4.Теплообменники (LMTD)
Ответ: Th,out = 57,65 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Постоянная разность температур
Холодный выход находится напротив горячего входа: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), поэтому ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Приравниваем энергетический баланс и уравнение теплопередачи
0,5·(160 − Th,out) = 1,2·(Th,out − 15)
Th,out = (0,5·160 + 1,2·15)/(0,5 + 1,2) = 57,65 °C
Ответ
Th,out = 57,65 °C
Переданная теплота: Q̇ = 51,18 kW; холодный поток выходит при 117,4 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer