Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 300 mm и диаметром горловины 150 mm. Давление на входе на 47 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 47 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Шланг с внутренним диаметром 20 mm работает как сифон, отбирая воду из открытого резервуара. Наивысшая точка C шланга находится на 1,5 m выше поверхности воды, а выход (открытый в атмосферу) — на 5 m ниже поверхности воды. Пренебрегите потерями и примите g = 9,81 m/s². Найдите абсолютное давление p_C в точке C. Атмосферное давление равно 101,3 kPa.

d = 20 mmz_C = +1,5 mz₂ = −5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт со средней скоростью 2,7 m/s по трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

V = 2,7 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Уровень воды в верхнем резервуаре на 19 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 10) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 19 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 10 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 10 m. КПД насоса 72%, а КПД приводящего его электродвигателя 90%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 10 L/sH = 10 mη_pump = 72%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 50 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 9 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,025; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 50 L/sΔz = 9 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (кирпичная кладка) имеет ширину 5,5 m. Вода течёт равномерно с глубиной 1,2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015, уклон дна S = 0,0005. Найдите расход Q в m³/s.

b = 5,5 my = 1,2 mn = 0,015S = 0,0005

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) с шириной по дну 3 m и заложением откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 17 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,4 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 17 m³/sb = 3 my = 1,4 mz = 2n = 0,014

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 198,7 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·4,5 = 198,7 kN

Ответ

F = 198,7 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 60,43 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,5·2 = 60,43 kN

Ответ

F = 60,43 kN

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 177 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v₁ = v₂·(150/300)² = 0,25·v₂

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·47000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,01 m/s

v₁ = 2,503 m/s

Расход

Q = A₂·v₂ = 0,01767·10,01 = 0,177 m³/s = 177 L/s

Ответ

Q = 177 L/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p_C = 37,53 kPa

Скорость в шланге

Поверхность и выход открыты в атмосферу, поэтому члены с давлением сокращаются.

v = √(2g·5) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(9,905²/2 + 9,81·1,5)/1000 = 101,3 − 63,77 = 37,53 kPa

Ответ

p_C = 37,53 kPa

Если это давление упадёт до давления насыщенных паров воды, сифон перестанет работать.

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 27,87 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,7²/(2·9,81) = 0,3716 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(500/0,1)·2,7²/(2·9,81) = 27,87 m

Ответ

h_f = 27,87 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 54,59 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·200/0,15 = 26,67

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

19 = (26,67 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·19/39,07) = 3,089 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 3,089·0,01767 = 0,05459 m³/s = 54,59 L/s

Ответ

Q = 54,59 L/s

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 1,514 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·10 = 0,981 kW

Мощность на валу

P_shaft = 0,981/0,72 = 1,363 kW

Электрическая мощность

P_el = 1,363/0,9 = 1,514 kW

Ответ

P_el = 1,514 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 14,87 m

Скорость

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 8)·0,1291 = 5,874 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + h_L = 9 + 5,874 = 14,87 m

Ответ

H = 14,87 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 8,727 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 5,5·1,2 = 6,6 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·1,2 = 7,9 m

R = A/P = 0,8354 m

Скорость

V = (1/0,015)·0,8354^2/3·0,0005^1/2 = 1,322 m/s

Расход

Q = A·V = 6,6·1,322 = 8,727 m³/s

Ответ

Q = 8,727 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001024 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3 + 2·1,4)·1,4 = 8,12 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,4·√(1 + 2²) = 9,261 m

R = A/P = 0,8768 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·17/(8,12·0,9161) = 0,032

S = 0,032² = 0,001024

Ответ

S = 0,001024

Это понижение на 1,024 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering