Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 250 mm и диаметром горловины 125 mm. Давление на входе на 14 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmp₁ − p₂ = 14 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 160 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 30 mm, расположенное на 4 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 160 kPa (избыточное)h = 4 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 15 L/s по трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 15 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 400 m с внутренним диаметром 250 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

При испытании насос подаёт 150 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 16 m, а мощность на его валу 29,4 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 150 L/sH = 16 mP_shaft = 29,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 75 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 17 m выше. Труба длиной 300 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 5 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 300 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 75 L/sΔz = 17 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5p_tank = 300 kPa

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 600 mm заполнен ровно полностью (течёт как открытое русло, не под напором). Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,0008. Найдите расход Q в m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,0008

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (необработанный бетон) с шириной по дну 3,5 m и заложением откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 7,1 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,7 m. Коэффициент Маннинга n = 0,014. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 7,1 m³/sb = 3,5 my = 0,7 mz = 2n = 0,014

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 36,79 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·3 = 36,79 kN

Ответ

F = 36,79 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,633 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,6667/(2,5·2) = 2,633 m

Ответ

y_cp = 2,633 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 67,07 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v₁ = v₂·(125/250)² = 0,25·v₂

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·14000/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,465 m/s

v₁ = 1,366 m/s

Расход

Q = A₂·v₂ = 0,01227·5,465 = 0,06707 m³/s = 67,07 L/s

Ответ

Q = 67,07 L/s

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 14,11 L/s

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(160000/1000 + 9,81·4)) = 19,96 m/s

Расход

Q = A·v = 0,0007069·19,96 = 0,01411 m³/s = 14,11 L/s

Ответ

Q = 14,11 L/s

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 0,4896 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,015/0,01767 = 0,8488 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,15)·0,8488²/(2·9,81) = 0,4896 m

Ответ

h_f = 0,4896 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 3,772 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·400/0,25 = 24

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Полная потеря напора

h_f = 24·0,119 = 2,856 m

h_m = 7,7·0,119 = 0,9162 m

Δz = h_f + h_m = 3,772 m

Ответ

Δz = 3,772 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 80,08 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·16 = 23,54 kW

КПД

η = P_h/P_shaft = 23,54/29,4 = 80,08%

Ответ

η = 80,08%

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 55,57 m

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 5)·0,2905 = 7,988 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 17 + 30,58 + 7,988 = 55,57 m

Ответ

H = 55,57 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,1737 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,2827 m², R = D/4 = 0,15 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,0008^1/2 = 0,6142 m/s

Расход

Q = A·V = 0,2827·0,6142 = 0,1737 m³/s

Ответ

Q = 0,1737 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,002022 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 2·0,7)·0,7 = 3,43 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,7·√(1 + 2²) = 6,63 m

R = A/P = 0,5173 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·7,1/(3,43·0,6444) = 0,04497

S = 0,04497² = 0,002022

Ответ

S = 0,002022

Это понижение на 2,022 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering