Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине
p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку
F = ρg·hc·A
Центр давления
yp = yc + Ic/(ycA)
Прямоугольник
Ic = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность
A1v1 = A2v2
Бернулли
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Расход
Q = A·v
Площадь круга
A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения
ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость
V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери
hm = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K
вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления
Δp = ρ·g·hf
Два открытых резервуара
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу
Pshaft = Ph/ηpump
Электрическая мощность
Pel = Pshaft/ηmotor
Напор насоса
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Потери в системе
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Расход
Q = A·V
Гидравлический радиус
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник
A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение
R = D/4
Требуемый уклон
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя
затворd = 0,5 mH = 2 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Гидростатическое давлениеСложная
затворd = 1 mH = 2 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите глубину ycp центра давления под поверхностью.

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Неразрывность и БернуллиСредняя
Q = ?d = 40 mm, Cd​ = 0,61h = 5,5 m

Вода вытекает из большого открытого резервуара через отверстие с острой кромкой диаметром 40 mm. Уровень воды поддерживается на 5,5 m выше отверстия, коэффициент расхода равен 0,61. Найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

d = 40 mmh = 5,5 mCd = 0,61g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Неразрывность и БернуллиСложная
12d1​ = 100 mm, p1​ = 290 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 1 m

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 100 mm до 50 mm и поднимается на 1 m. В сечении 1 давление 290 kPa, а скорость 1,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p2 в сечении 2.

d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 290 kPav1 = 1,75 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Трение в трубах и потери напораСредняя
V = 1,8 m/sD = 150 mmL = 400 mf = 0,018

Вода течёт со средней скоростью 1,8 m/s по трубе длиной 400 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение hf.

V = 1,8 m/sL = 400 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Трение в трубах и потери напораСложная
K = 2Δz = 35 mL = 200 m, D = 200 mm, f = 0,024× колено (K = 0,3)

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 200 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,02. Уровень воды в верхнем резервуаре на 35 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 35 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Насосы и мощность насосаСредняя
PQ = 80 L/sH = 34 m

При испытании насос подаёт 80 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 34 m, а мощность на его валу 34,2 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 80 L/sH = 34 mPshaft = 34,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Насосы и мощность насосаСложная
PQ = 30 L/sΔz = 5 mL = 500 m, D = 150 mm, f = 0,022, ΣK = 6

Насос перекачивает 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 5 m выше. Труба длиной 500 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,022; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 6 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 30 L/sΔz = 5 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 6
H = m
9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя
b = 6 my = 0,5 m2 : 1n = 0,022, S = 0,003

Трапецеидальный канал (чистый грунт) имеет ширину по дну 6 m и заложение откосов 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 0,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 6 my = 0,5 mz = 2n = 0,022S = 0,003
Q = m³/s
10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная
b = 3 my = 0,9 mn = 0,025, Q = 4,7 m³/s

Прямоугольный канал (гравий) шириной 3 m должен пропускать 4,7 m³/s при равномерном течении с глубиной 0,9 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 4,7 m³/sb = 3 my = 0,9 mn = 0,025
S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 88,29 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
затворd = 0,5 mH = 2 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·6 = 88,29 kN

Ответ

F = 88,29 kN
2.Гидростатическое давление

Ответ: ycp = 2,167 m

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
затворd = 1 mH = 2 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2·4 = 80,44 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

Ic = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 1,333/(2·4) = 2,167 m

Ответ

ycp = 2,167 m
3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 7,963 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Идеальная скорость струи

√(2gh) = √(2·9,81·5,5) = 10,39 m/s

Действительный расход

Коэффициент расхода учитывает сжатие струи и трение у кромки.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,61·0,001257·10,39 = 0,007963 m³/s = 7,963 L/s

Ответ

Q = 7,963 L/s
4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p2 = 257,2 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(100/50)² = 7 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 7²)/1000 = −22,97 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 290 + (−22,97) − 9,81 = 257,2 kPa

Ответ

p2 = 257,2 kPa
5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: hf = 7,927 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,8²/(2·9,81) = 0,1651 m

Формула Дарси–Вейсбаха

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,15)·1,8²/(2·9,81) = 7,927 m

Ответ

hf = 7,927 m
6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 165,6 L/s

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,02·200/0,2 = 20
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

35 = (20 + 4,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·35/24,7) = 5,273 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 5,273·0,03142 = 0,1656 m³/s = 165,6 L/s

Ответ

Q = 165,6 L/s
7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 78,02 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·34 = 26,68 kW

КПД

η = Ph/Pshaft = 26,68/34,2 = 78,02%

Ответ

η = 78,02%
8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 16,65 m

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Скорость

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m

Потери напора

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (73,33 + 6)·0,1469 = 11,65 m

Напор насоса

Обе поверхности открыты и практически неподвижны, поэтому члены с давлением и скоростью выпадают.

H = Δz + hL = 5 + 11,65 = 16,65 m

Ответ

H = 16,65 m
9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 4,925 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (6 + 2·0,5)·0,5 = 3,5 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0,5·√(1 + 2²) = 8,236 m
R = A/P = 0,425 m

Скорость

V = (1/0,022)·0,4252/3·0,0031/2 = 1,407 m/s

Расход

Q = A·V = 3,5·1,407 = 4,925 m³/s

Ответ

Q = 4,925 m³/s
10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,004079 m/m

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 3·0,9 = 2,7 m²
P = b + 2y = 3 + 2·0,9 = 4,8 m
R = A/P = 0,5625 m

Выразите S из формулы Маннинга

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,025·4,7/(2,7·0,6814) = 0,06386
S = 0,06386² = 0,004079

Ответ

S = 0,004079

Это понижение на 4,079 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering