Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине
p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку
F = ρg·hc·A
Центр давления
yp = yc + Ic/(ycA)
Прямоугольник
Ic = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность
A1v1 = A2v2
Бернулли
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Расход
Q = A·v
Площадь круга
A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения
ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость
V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери
hm = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K
вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления
Δp = ρ·g·hf
Два открытых резервуара
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу
Pshaft = Ph/ηpump
Электрическая мощность
Pel = Pshaft/ηmotor
Напор насоса
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Потери в системе
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Расход
Q = A·V
Гидравлический радиус
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник
A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение
R = D/4
Требуемый уклон
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя
затворd = 2,5 mH = 1 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Гидростатическое давлениеСложная
затворd = 4 mH = 1,5 m

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Неразрывность и БернуллиСредняя
12d1​ = 200 mm, p1​ = 390 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 200 mm до 50 mm. В широкой части давление 390 kPa, а скорость 0,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p2 в узкой части.

d1 = 200 mmd2 = 50 mmp1 = 390 kPav1 = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Неразрывность и БернуллиСложная
d1​ = 200 mmd2​ = 100 mm12Δh = 80 mmртутьQ = ?

По горизонтальному расходомеру Вентури (вход 200 mm, горловина 100 mm) течёт вода. Ртутный U-образный манометр, подключённый между входом и горловиной, показывает разность уровней 80 mm. Коэффициент расхода равен 0,95. Найдите расход Q. Примите ρ = 1000 kg/m³ для воды, 13 600 kg/m³ для ртути и g = 9,81 m/s².

d1 = 200 mmd2 = 100 mmΔh = 80 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Трение в трубах и потери напораСредняя
Q = 4 L/sD = 100 mmL = 300 mf = 0,02

Вода течёт с расходом 4 L/s по трубе длиной 300 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение hf.

Q = 4 L/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Трение в трубах и потери напораСложная
K = 2Δz = ?L = 200 m, D = 300 mm, f = 0,0182× колено (K = 0,3)

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 200 m с внутренним диаметром 300 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,018. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 2) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Насосы и мощность насосаСредняя
PQ = 30 L/sH = 54 m

При испытании насос подаёт 30 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 54 m, а мощность на его валу 18,7 kW. Примите g = 9,81 m/s². Найдите КПД насоса η в процентах.

Q = 30 L/sH = 54 mPshaft = 18,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Насосы и мощность насосаСложная
300 kPa (избыточное)PQ = 40 L/sΔz = 12 mL = 150 m, D = 150 mm, f = 0,015, ΣK = 8

Насос перекачивает 40 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 12 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 150 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 300 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 40 L/sΔz = 12 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8ptank = 300 kPa
H = m
9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя
b = 6 my = 0,6 m1 : 1n = 0,012, S = 0,003

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) имеет ширину по дну 6 m и заложение откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода течёт равномерно с глубиной 0,6 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012, уклон дна S = 0,003. Найдите расход Q в m³/s.

b = 6 my = 0,6 mz = 1n = 0,012S = 0,003
Q = m³/s
10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная
b = 2,5 my = 2,2 m1,5 : 1n = 0,022, Q = 26 m³/s

Трапецеидальный канал (чистый грунт) с шириной по дну 2,5 m и заложением откосов 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 26 m³/s при равномерном течении с глубиной 2,2 m. Коэффициент Маннинга n = 0,022. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 26 m³/sb = 2,5 my = 2,2 mz = 1,5n = 0,022
S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 88,29 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
затворd = 2,5 mH = 1 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Ответ

F = 88,29 kN
2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 61,51 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·yc·A. Она приложена в центре давления, ycp = yc + Ic/(ycA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
затворd = 4 mH = 1,5 mF

Равнодействующая сила

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4,75·1,5 = 61,51 kN

Ответ

F = 61,51 kN
3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p2 = 318,3 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(200/50)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 12²)/1000 = −71,72 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 390 + (−71,72) = 318,3 kPa

Ответ

p2 = 318,3 kPa
4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 34,27 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Разность давлений по манометру

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,08 = 9888 Pa

Скорость в горловине

Уравнения неразрывности и Бернулли вместе дают идеальную скорость в горловине.

β = 100/200 = 0,5
v2 = √(2·9888/(1000·(1 − 0,0625))) = 4,593 m/s

Действительный расход

Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,007854·4,593 = 0,03427 m³/s = 34,27 L/s

Ответ

Q = 34,27 L/s
5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: hf = 0,7932 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,004/0,007854 = 0,5093 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 0,5093²/(2·9,81) = 0,01322 m

Формула Дарси–Вейсбаха

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,1)·0,5093²/(2·9,81) = 0,7932 m

Ответ

hf = 0,7932 m
6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 0,9238 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Скорость

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s
V²/(2g) = 0,05738 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·200/0,3 = 12
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Полная потеря напора

hf = 12·0,05738 = 0,6886 m
hm = 4,1·0,05738 = 0,2353 m
Δz = hf + hm = 0,9238 m

Ответ

Δz = 0,9238 m
7.Насосы и мощность насоса

Ответ: η = 84,99 %

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·54 = 15,89 kW

КПД

η = Ph/Pshaft = 15,89/18,7 = 84,99%

Ответ

η = 84,99%
8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 48,59 m

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: Pshaft = Ph/ηpump, а двигатель потребляет Pel = Pshaft/ηmotor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Скорость

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m

Потери напора

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,2611 = 6,006 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 12 + 30,58 + 6,006 = 48,59 m

Ответ

H = 48,59 m
9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 11,61 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·0,6)·0,6 = 3,96 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0,6·√(1 + 1²) = 7,697 m
R = A/P = 0,5145 m

Скорость

V = (1/0,012)·0,51452/3·0,0031/2 = 2,931 m/s

Расход

Q = A·V = 3,96·2,931 = 11,61 m³/s

Ответ

Q = 11,61 m³/s
10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,001536 m/m

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·2,2)·2,2 = 12,76 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,2·√(1 + 1,5²) = 10,43 m
R = A/P = 1,223 m

Выразите S из формулы Маннинга

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·26/(12,76·1,144) = 0,03919
S = 0,03919² = 0,001536

Ответ

S = 0,001536

Это понижение на 1,536 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering