Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода с расходом 27 L/s течёт по горизонтальной трубе, сужающейся с 150 mm до 100 mm. Давление в узком сечении равно 300 kPa. Пренебрегая потерями, найдите давление p₁ в широком сечении.

Q = 27 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 300 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 150 mm до 50 mm и поднимается на 6 m. В сечении 1 давление 210 kPa, а скорость 1,25 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 210 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 25 L/s по трубе длиной 400 m с внутренним диаметром 150 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,018 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 25 L/sL = 400 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 150 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,015. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 2 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Какая разность уровней воды Δz между резервуарами даёт расход 30 L/s?

Q = 30 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 40 m. КПД насоса 75%, а КПД приводящего его электродвигателя 92%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 60 L/sH = 40 mη_pump = 75%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 60 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 21 m выше. Труба длиной 150 m имеет внутренний диаметр 200 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². Верхний бак закрыт, и воздух над водой в нём находится под избыточным давлением 400 kPa. Найдите напор H, который должен создать насос.

Q = 60 L/sΔz = 21 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8p_tank = 400 kPa

H = m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Прямоугольный канал (гравий) имеет ширину 1,5 m. Вода течёт равномерно с глубиной 2,5 m. Коэффициент Маннинга n = 0,025, уклон дна S = 0,004. Найдите расход Q в m³/s.

b = 1,5 my = 2,5 mn = 0,025S = 0,004

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Трапецеидальный канал (затёртый бетон) с шириной по дну 2,5 m и заложением откосов 1:1 (горизонталь:вертикаль) должен пропускать 26 m³/s при равномерном течении с глубиной 2,4 m. Коэффициент Маннинга n = 0,012. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 26 m³/sb = 2,5 my = 2,4 mz = 1n = 0,012

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 157 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·4 = 157 kN

Ответ

F = 157 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 1,4 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,25·1,5 = 23,18 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,25 + 0,2813/(1,25·1,5) = 1,4 m

Ответ

y_cp = 1,4 m

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₁ = 304,7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорости

v₁ = Q/A₁ = 0,027/0,01767 = 1,528 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,027/0,007854 = 3,438 m/s

Бернулли

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 300 + ½·1000·(3,438² − 1,528²)/1000 = 300 + 4,742 = 304,7 kPa

Ответ

p₁ = 304,7 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 88,64 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(150/50)² = 11,25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 11,25²)/1000 = −62,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 210 + (−62,5) − 58,86 = 88,64 kPa

Ответ

p₂ = 88,64 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 4,896 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,415²/(2·9,81) = 0,102 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,15)·1,415²/(2·9,81) = 4,896 m

Ответ

h_f = 4,896 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Δz = 3,246 m

Скорость

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,015·150/0,15 = 15

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Полная потеря напора

h_f = 15·0,1469 = 2,203 m

h_m = 7,1·0,1469 = 1,043 m

Δz = h_f + h_m = 3,246 m

Ответ

Δz = 3,246 m

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 34,12 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·40 = 23,54 kW

Мощность на валу

P_shaft = 23,54/0,75 = 31,39 kW

Электрическая мощность

P_el = 31,39/0,92 = 34,12 kW

Ответ

P_el = 34,12 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: H = 65,35 m

Скорость

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 8)·0,1859 = 3,579 m

Пьезометрический напор

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Напор насоса

Обе поверхности практически неподвижны, поэтому скоростного напора нет.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 21 + 40,77 + 3,579 = 65,35 m

Ответ

H = 65,35 m

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 6,575 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 1,5·2,5 = 3,75 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·2,5 = 6,5 m

R = A/P = 0,5769 m

Скорость

V = (1/0,025)·0,5769^2/3·0,004^1/2 = 1,753 m/s

Расход

Q = A·V = 3,75·1,753 = 6,575 m³/s

Ответ

Q = 6,575 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,0005139 m/m

Геометрия

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·2,4)·2,4 = 11,76 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,4·√(1 + 1²) = 9,288 m

R = A/P = 1,266 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·26/(11,76·1,17) = 0,02267

S = 0,02267² = 0,0005139

Ответ

S = 0,0005139

Это понижение на 0,5139 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering