Гидравлика и гидротехника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Трение в трубах и потери напора

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения: ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость: V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K: вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления: Δp = ρ·g·h_f
Два открытых резервуара: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насосы и мощность насоса

Гидравлическая мощность: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Мощность на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Электрическая мощность: P_el = P_shaft/η_motor
Напор насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Потери в системе: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течение в открытых руслах (Маннинг)

Формула Маннинга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Расход: Q = A·V
Гидравлический радиус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение: R = D/4
Требуемый уклон: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Тренировочные задачи

1.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 150 mm до 75 mm. В широкой части давление 280 kPa, а скорость 2,25 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 280 kPav₁ = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 75 mm до 50 mm и поднимается на 6 m. В сечении 1 давление 210 kPa, а скорость 2,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 210 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Трение в трубах и потери напораСредняя

Вода течёт с расходом 12 L/s по трубе длиной 500 m с внутренним диаметром 75 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,022 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение h_f.

Q = 12 L/sL = 500 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Трение в трубах и потери напораСложная

Два открытых резервуара соединены трубой длиной 100 m с внутренним диаметром 150 mm и коэффициентом трения Дарси f = 0,018. Уровень воды в верхнем резервуаре на 33 m выше, чем в нижнем. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 4 колена (K = 0,3 каждое), задвижка (K = 5) и выход в нижний резервуар (K = 1,0). Примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q в L/s.

Δz = 33 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насосы и мощность насосаСредняя

Насос подаёт 25 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) при напоре 12 m. КПД насоса 75%, а КПД приводящего его электродвигателя 94%. Примите g = 9,81 m/s². Найдите электрическую мощность P_el, потребляемую двигателем, в kW.

Q = 25 L/sH = 12 mη_pump = 75%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насосы и мощность насосаСложная

Насос перекачивает 15 L/s воды (ρ = 1000 kg/m³) из открытого нижнего резервуара в верхний бак, поверхность воды в котором на 8 m выше. Труба длиной 100 m имеет внутренний диаметр 100 mm и коэффициент трения Дарси f = 0,015; сумма коэффициентов местных сопротивлений ΣK = 8 (включая вход и выход). Примите g = 9,81 m/s². КПД насоса 85%. Найдите мощность на валу P_shaft в kW.

Q = 15 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8η = 85%

P_shaft = kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)Средняя

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 750 mm заполнен наполовину. Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,0015. Найдите расход Q в m³/s.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,0015

Q = m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)Сложная

Прямоугольный канал (кирпичная кладка) шириной 2,5 m должен пропускать 9,1 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,1 m. Коэффициент Маннинга n = 0,015. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 9,1 m³/sb = 2,5 my = 1,1 mn = 0,015

S = m/m

3Растворы

1.Гидростатическое давление

Ответ: F = 29,43 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·2 = 29,43 kN

Ответ

F = 29,43 kN

2.Гидростатическое давление

Ответ: F = 103,6 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4·3 = 103,6 kN

Ответ

F = 103,6 kN

3.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 242 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(150/75)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 9²)/1000 = −37,97 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 280 + (−37,97) = 242 kPa

Ответ

p₂ = 242 kPa

4.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 135,8 kPa

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(75/50)² = 6,188 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 6,188²)/1000 = −15,36 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 210 + (−15,36) − 58,86 = 135,8 kPa

Ответ

p₂ = 135,8 kPa

5.Трение в трубах и потери напора

Ответ: h_f = 55,15 m

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери h_m = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = h_f + h_m, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,012/0,004418 = 2,716 m/s

Скоростной напор

V²/(2g) = 2,716²/(2·9,81) = 0,376 m

Формула Дарси–Вейсбаха

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(500/0,075)·2,716²/(2·9,81) = 55,15 m

Ответ

h_f = 55,15 m

6.Трение в трубах и потери напора

Ответ: Q = 101,3 L/s

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,018·100/0,15 = 12

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Уравнение энергии

Обе поверхности открыты в атмосферу и практически неподвижны, поэтому весь перепад Δz теряется в трубе.

33 = (12 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·33/19,7) = 5,733 m/s

Расход

Q = V·π·D²/4 = 5,733·0,01767 = 0,1013 m³/s = 101,3 L/s

Ответ

Q = 101,3 L/s

7.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_el = 4,174 kW

Мощность насоса: мощность, передаваемая воде, — это гидравлическая мощность P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал должен передавать больше, так как в насосе есть потери: P_shaft = P_h/η_pump, а двигатель потребляет P_el = P_shaft/η_motor. Напор насоса H находят из уравнения энергии: геометрическая высота подъёма + пьезометрический напор + все потери на трение и местные потери.

Гидравлическая мощность

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·12 = 2,943 kW

Мощность на валу

P_shaft = 2,943/0,75 = 3,924 kW

Электрическая мощность

P_el = 3,924/0,94 = 4,174 kW

Ответ

P_el = 4,174 kW

8.Насосы и мощность насоса

Ответ: P_shaft = 2,125 kW

Скорость

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Потери напора

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,1859 = 4,276 m

Напор насоса

H = Δz + h_L = 8 + 4,276 = 12,28 m

Мощность на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,015·12,28/0,85 = 2,125 kW

Ответ

P_shaft = 2,125 kW

9.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: Q = 0,2156 m³/s

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,2209 m², R = D/4 = 0,1875 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,0015^1/2 = 0,976 m/s

Расход

Q = A·V = 0,2209·0,976 = 0,2156 m³/s

Ответ

Q = 0,2156 m³/s

10.Течение в открытых руслах (Маннинг)

Ответ: S = 0,005034 m/m

Геометрия

A = b·y = 2,5·1,1 = 2,75 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,1 = 4,7 m

R = A/P = 0,5851 m

Выразите S из формулы Маннинга

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·9,1/(2,75·0,6996) = 0,07095

S = 0,07095² = 0,005034

Ответ

S = 0,005034

Это понижение на 5,034 m на километр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering